توم وإيفري: حل الجدار (مسألة رياضيات)

يستغرق إيفري 3 ساعات لبناء جدار من الطوب، في حين يستطيع توم القيام بذلك في 3 ساعات أيضًا. عندما يعملان معًا وبعد مرور ساعة، يترك إيفري العمل. السؤال هو: كم يستغرق توم لإكمال بناء الجدار بمفرده؟

الحل:
عندما يعمل إيفري لوحده لمدة ساعة، يكمل جزءًا من العمل يعادل ثلث الجدار لأنه يحتاج 3 ساعات لإكماله بالكامل. لذا، بعد ساعة من العمل المشترك، تم الانتهاء من جزء واحد من العمل.

بما أن توم يحتاج 3 ساعات لإكمال الجدار بمفرده، وقد تم الفعل جزء واحد من العمل، فإنه يحتاج إلى جزءين آخرين لاستكمال العمل بالكامل.

لذا، يحتاج توم إلى وقت يعادل ضعف الوقت الذي يحتاجهما الاثنان معًا لإكمال الجدار، وهو 3 ساعات.

إجمالاً، يحتاج توم إلى 3 ساعات لإكمال البناء بمفرده بعد مغادرة إيفري.

لحل هذه المسألة، سنستخدم قانون “معدل العمل المشترك” الذي ينص على أن معدل العمل الذي يقوم به الأفراد معًا يمثل جمع معدلات أعمال كل فرد على حدة. بمعنى آخر، إذا كان شخصان يعملان معًا، فإن معدل العمل الإجمالي يساوي معدل العمل للشخص الأول زائد معدل العمل للشخص الثاني.

لنرمز لمعدل عمل إيفري بـ $E$ ولمعدل عمل توم بـ $T$. يُعبر عن معدل العمل بالوحدة (جدار في هذه الحالة) الذي يتم إنجازه في الوقت الواحد.

قانون معدل العمل المشترك:
$E + T = \frac{1}{\text{وقت الانتهاء المشترك}}$

نعلم أن معدل عمل إيفري يساوي الجدار كامل في 3 ساعات، لذلك $E = \frac{1}{3}$ ومعدل عمل توم أيضًا يساوي الجدار كامل في 3 ساعات، لذا $T = \frac{1}{3}$.

نستخدم قانون معدل العمل المشترك لحساب معدل العمل الإجمالي عندما يعملان معًا:
$\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{1}{\text{وقت الانتهاء المشترك}}$

نجمع الكسرين على الجهة اليمنى ونحسب الجهة اليسرى:
$\frac{2}{3} = \frac{1}{\text{وقت الانتهاء المشترك}}$

ثم نقلب الكسر للعثور على وقت الانتهاء المشترك:
$\text{وقت الانتهاء المشترك} = \frac{3}{2}$

لكن السؤال يطلب الوقت الذي يحتاجه توم لإكمال البناء بمفرده بعد أن ترك إيفري. لذا نقوم بطرح الوقت الذي عملهما معًا من الوقت الإجمالي لإيجاد وقت العمل الباقي لتوم:
$\text{وقت الانتهاء لتوم بمفرده} = \frac{3}{2} – 1 = \frac{1}{2}$

لذا، يحتاج توم إلى نصف الوقت الذي استغرقهما معًا لإكمال الجدار بمفرده. يُمثل ذلك نصف ساعة.

لم يتم استخدام قوانين إضافية في هذا الحل، حيث تم تطبيق قانون معدل العمل المشترك بشكل أساسي لحساب وقت الانتهاء المشترك، ثم استخدمنا الوقت الإجمالي لحساب الوقت الذي يحتاجه توم لإكمال البناء بمفرده.