عندما يقوم مارك بإزالة جميع بطاقات الوجوه و 8 من الأوراق العادية للعب، ثم يقوم بتحديد بطاقة عشوائية واستبدالها 36 مرة، فكم مرة يمكن أن يتوقع أن يختار بطاقة حمراء ولديها رقم قابل للقسمة على 3؟
لحل هذه المسألة، يجب علىنا أولاً أن نعرف عدد البطاقات التي ستبقى في اللعبة بعد إزالة البطاقات المذكورة (البطاقات ذات الوجوه والبطاقات ذات الرقم 8).
النوع الأول: البطاقات الحمراء ذات الأرقام القابلة للقسمة على 3:
- هناك 26 بطاقة حمراء في اللعبة (منها 13 بطاقة ذات أرقام قابلة للقسمة على 3)، ولكننا قمنا بإزالة جميع البطاقات ذات الرقم 8، لذا نبقى فقط مع البطاقات الحمراء ذات الأرقام القابلة للقسمة على 3.
- عدد البطاقات التي نبحث عنها: 13 بطاقة.
النوع الثاني: البطاقات السوداء ذات الأرقام القابلة للقسمة على 3:
- هناك 26 بطاقة سوداء في اللعبة (منها 13 بطاقة ذات أرقام قابلة للقسمة على 3).
- مع إزالة البطاقات ذات الوجوه والرقم 8، نظل فقط مع البطاقات السوداء ذات الأرقام القابلة للقسمة على 3.
- عدد البطاقات التي نبحث عنها: 13 بطاقة.
إذاً، إجمالاً، لدينا 26 بطاقة قابلة للاختيار (13 بطاقة حمراء و 13 بطاقة سوداء)، ومنها 26 بطاقة ذات أرقام قابلة للقسمة على 3.
عندما يقوم مارك باختيار بطاقة واحدة واستبدالها، فإن كل اختيار لديه فرصة متساوية للاختيار من بين هذه البطاقات.
بالتالي، فإن احتمالية اختيار بطاقة حمراء ذات رقم قابل للقسمة على 3 هي 13/26، واحتمالية اختيار بطاقة سوداء ذات رقم قابل للقسمة على 3 هي أيضًا 13/26.
لأن كل اختيار يعتمد على الاحتمال السابق ويمثل اختبارًا مستقلًا، يمكننا استخدام قاعدة ضرب الاحتمالات.
إذاً، الاحتمال الإجمالي لاختيار بطاقة حمراء ذات رقم قابل للقسمة على 3 في كل مرة هو:
P(Red divisible by 3)=P(Red)×P(divisible by 3)=2613×31=7813
والاحتمال الإجمالي لاختيار بطاقة سوداء ذات رقم قابل للقسمة على 3 هو نفسه:
P(Black divisible by 3)=P(Black)×P(divisible by 3)=2613×31=7813
الآن، لمعرفة عدد المرات التي يمكن فيها أن يتوقع مارك اختيار بطاقة حمراء أو سوداء، ذات رقم قابل للقسمة على 3، نضرب الاحتمال بعدد المحاولات الإجمالي (36 محاولة):
Expected number of times=7813×36=7813×36=78468=6
لذا، يمكن لمارك أن يتوقع اختيار بطاقة حمراء أو سوداء، ذات رقم قابل للقسمة على 3، حوالي 6 مرات في 36 محاولة.
المزيد من المعلومات
لحل هذه المسألة، قمنا باستخدام مبدأ الاحتمالات وقوانينها لحساب الاحتمالات المطلوبة. القوانين المستخدمة هي:
-
قاعدة ضرب الاحتمالات: تقول إنه عندما يتكون حدث معين من سلسلة من الأحداث المستقلة، يمكن حساب الاحتمال الإجمالي لحدوث هذا الحدث عن طريق ضرب احتمالات الأحداث الفردية.
-
احتمال الحدث المستقل: في هذه المسألة، نفترض أن اختيار بطاقة في كل مرة يعتمد على الاحتمال السابق وهو حدث مستقل.
الآن، دعونا نركز على تفصيل الحل:
-
أولاً، حسب الشروط المعطاة، نعرف أنه بعد إزالة بطاقات الوجوه والبطاقات ذات الرقم 8، لدينا 26 بطاقة باللون الأحمر و 26 بطاقة باللون الأسود، وكلتا اللونين لهما نفس الأعداد القابلة للقسمة على 3 وهي 13 بطاقة لكل لون.
-
ثانياً، نحتاج إلى حساب الاحتمالات الفردية:
- احتمال اختيار بطاقة حمراء: P(Red)=5226=21
- احتمال اختيار بطاقة سوداء: P(Black)=5226=21
- احتمال أن يكون الرقم على البطاقة قابلًا للقسمة على 3: P(divisible by 3)=31
-
ثالثاً، نستخدم قاعدة ضرب الاحتمالات لحساب الاحتمال الإجمالي لاختيار بطاقة حمراء (أو سوداء) ذات رقم قابل للقسمة على 3.
-
أخيراً، نضرب الاحتمالات بعدد المرات التي سيتم فيها الاختيار (36 مرة) للحصول على العدد المتوقع للاختيارات.
بناءً على الحسابات السابقة، نتوقع أن يقوم مارك باختيار بطاقة حمراء أو سوداء، ذات رقم قابل للقسمة على 3، حوالي 6 مرات في 36 محاولة.