توسيع القوى ومعاملات الباينوميال (مسألة رياضيات)

في توسيع $(x+1)^{42}$، ما هو معامل الرتبة الثانية $x^2$؟

الحل:
لحساب معامل الرتبة الثانية في توسيع $(x+1)^{42}$، نستخدم الصيغة العامة لتوسيع القوى:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

حيث $\binom{n}{k}$ هو معامل الباينوميال ويُحسب كالتالي:

$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

في هذا السياق، $a$ يمثل $x$، و $b$ يمثل $1$. نريد الحصول على معامل الرتبة الثانية، لذا نريد $k=40$ (لأن $n=42$ و $n-k=2$).

$\binom{42}{2} = \frac{42!}{2!(42-2)!}$

$\binom{42}{2} = \frac{42 \times 41}{2} = 861$

الآن، نستخدم هذا المعامل في توسيع القوة:

$(x+1)^{42} = \sum_{k=0}^{42} \binom{42}{k} x^{42-k} 1^k$

للعثور على معامل الرتبة الثانية، نركز على الجزء الذي يحتوي على $x^2$، أي عندما $k=40$:

$\binom{42}{40} x^{42-40} 1^{40} = \binom{42}{2} x^2$

لذا، معامل الرتبة الثانية هو $861$.

إذاً، في توسيع $(x+1)^{42}$، معامل الرتبة الثانية $x^2$ هو $861$.

لنقم بحل المسألة بتفصيل أكبر وذلك باستخدام القوانين الأساسية في جبر القوى. نتناول توسيع $(x+1)^{42}$ بمراجعة قاعدة توسيع القوى:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

حيث $\binom{n}{k}$ هو معامل الباينوميال، ويُحسب باستخدام الصيغة:

$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

الآن، في حالتنا $(x+1)^{42}$، نقوم بتطبيق الصيغة العامة:

$(x+1)^{42} = \sum_{k=0}^{42} \binom{42}{k} x^{42-k} 1^k$

حيث $x$ يمثل $a$، و $1$ يمثل $b$. نحتاج إلى حساب معامل الرتبة الثانية، الذي يظهر عندما $k=40$، والذي يكون كالتالي:

$\binom{42}{40} x^{42-40} 1^{40} = \binom{42}{2} x^2$

نحتاج الآن إلى حساب قيمة $\binom{42}{2}$، والتي تكون:

$\binom{42}{2} = \frac{42!}{2!(42-2)!} = \frac{42 \times 41}{2} = 861$

بالتالي، نعود إلى توسيع القوة ونرى أن معامل الرتبة الثانية $x^2$ هو $861$.

القوانين المستخدمة في هذا الحل تشمل:

1. صيغة توسيع القوى: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$
2. معامل الباينوميال: $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

تم استخدام هذه القوانين لتحديد معامل الرتبة الثانية في توسيع القوة المطلوب.