توسيع العبارات باستخدام قاعدة القوة (مسألة رياضيات)

نقوم بحساب العبارة الثلاثية في توسيع $(x+2\sqrt{3})^7$ باستخدام الصيغة العامة لتوسيع قوة مضاعفة:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

في هذه الحالة، حيث $a = x$ و $b = 2\sqrt{3}$، و $n = 7$:

$(x+2\sqrt{3})^7 = \sum_{k=0}^{7} \binom{7}{k} x^{7-k} (2\sqrt{3})^k$

للعثور على معامل $x^3$، نحتاج إلى البحث عن الفهارس $k$ التي تجعل $7-k = 3$، أي $k = 4$. لذا، يكون المعامل المطلوب:

$\binom{7}{4} x^3 (2\sqrt{3})^4$

الآن سنقوم بحساب القيمة:

$\binom{7}{4} = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

ونعلم أن $(2\sqrt{3})^2 = 12$:

$x^3 \times (2\sqrt{3})^4 = x^3 \times 12^2 = 144x^3$

إذاً، المعامل المطلوب لـ $x^3$ هو $35 \times 144 = 5040$.

لذا، المعامل المطلوب هو 5040.

بالتأكيد، سأوفر تفاصيل أكثر حول حل المسألة والقوانين المستخدمة.

لنقم بتوسيع العبارة $(x+2\sqrt{3})^7$ باستخدام القاعدة العامة لتوسيع قوة مضاعفة:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

حيث $a = x$ و $b = 2\sqrt{3}$ و $n = 7$. القاعدة المستخدمة هي قاعدة القوة العامة.

نقوم بحساب قيمة الفهرس $k$ في التوسيع الثلاثي:

$\binom{7}{k} x^{7-k} (2\sqrt{3})^k$

ونريد العثور على معامل $x^3$، لذا نحتاج إلى حساب القيمة عند $k = 4$، لأن $7-4 = 3$.

قاعدة الجمع في التوسيع تقول إننا نقوم بجمع جميع المصطلحات المماثلة. في هذه الحالة، يكون لدينا:

$\binom{7}{4} x^3 (2\sqrt{3})^4$

القاعدة المستخدمة هنا هي قاعدة الجمع في توسيع العبارات.

الآن، نقوم بحساب القيم:

$\binom{7}{4} = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

ونعلم أن $(2\sqrt{3})^2 = 12$، لذا:

$x^3 \times (2\sqrt{3})^4 = x^3 \times 12^2 = 144x^3$

نضرب القيمتين:

$35 \times 144 = 5040$

وهذا هو المعامل المطلوب لـ $x^3$ في التوسيع.