توزيع 8 عمال على 5 فترات: حلول الكمية المجموعة (مسألة رياضيات)

يتعين على مدير مصنع توجيه 8 عمال جدد إلى إحدى خمس فترات. تحتاج إلى فترة أولى وثانية وثالثة، بالإضافة إلى فترتين بديلتين. سيحصل كل فترة على 2 عامل جديد. كم هو عدد الطرق المختلفة التي يمكنها بها توجيه العمال الجدد؟

الحل:

لحساب عدد الطرق المختلفة لتوزيع العمال، يمكننا استخدام مبدأ الكمية المجموعة. لدينا 8 عمال يجب توزيعهم على 5 فترات. سنقوم بتوزيعهم بحيث تحصل كل فترة على 2 عامل.

نستخدم الصيغة:

$C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

حيث:

• $n!$ يمثل عامل التجميع للعدد n.
• $C(n, r)$ هو عدد الطرق الممكنة لاختيار r عنصرًا من بين n عناصر.

في هذه الحالة، عدد العمال هو n = 8 وعدد العمال في كل فترة هو r = 2.

$C(8, 2) = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2! \times 6!}$

حاسبًا هذا:

$C(8, 2) = \frac{8 \times 7 \times 6!}{2 \times 1 \times 6!}$

يتم إلغاء 6! من البسط والمقام:

$C(8, 2) = \frac{8 \times 7}{2 \times 1}$

قم بحساب هذا:

$C(8, 2) = 28$

إذا كان هناك 28 طريقة مختلفة يمكن بها توزيع العمال الجدد على الفترات.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مبدأ الكمية المجموعة (Combination). في هذه المسألة، هدفنا هو توزيع 8 عمال على 5 فترات مختلفة، حيث يتوجب على كل فترة أن تحتوي على 2 عامل.

القوانين المستخدمة:

1. مبدأ الكمية المجموعة (Combination):
   $C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}$
   حيث يعبر $C(n, r)$ عن عدد الطرق الممكنة لاختيار r عنصرًا من بين n عناصر.

الحل:

نعلم أن عدد العمال (n) هو 8 وعدد العمال في كل فترة (r) هو 2. لذا نستخدم الصيغة التالية:

$C(8, 2) = \frac{8!}{2!(8-2)!}$

تفاصيل الحساب:

$C(8, 2) = \frac{8 \times 7 \times 6!}{2 \times 1 \times 6!}$

يتم إلغاء 6! من البسط والمقام:

$C(8, 2) = \frac{8 \times 7}{2 \times 1}$

حساب القيم:

$C(8, 2) = \frac{56}{2}$

إذاً:

$C(8, 2) = 28$

وبالتالي، هناك 28 طريقة مختلفة لتوزيع العمال الجدد على الفترات المختلفة.