توزيع مشاكل رياضية على أصدقاء: حساب الطرق (مسألة رياضيات)

بكمية الطرق التي يمكن لألكس توزيع 5 مشاكل رياضية مختلفة على 10 من أصدقائه، مسمحًا لكل صديق بتلقي أكثر من مشكلة واحدة؟

لنحسب عدد الطرق التي يمكن بها توزيع المشاكل:

أولاً، نحدد عدد الطرق التي يمكن بها اختيار 2 مشكلة من بين 5 مشاكل. هذا يُعبر عنه بالرمز الرياضي “5 choose 2” ويُحسب بالصيغة التالية:

$\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

هناك 10 طرق لاختيار 2 مشكلة من بين 5.

ثم، بعد أن يحدد ألكس المشكلتين التي يريد تخصيصهما لأصدقائه، يبقى لديه 3 مشاكل يمكن توزيعها على الأصدقاء الباقين. كل مشكلة يمكن توزيعها على أي من الأصدقاء الـ 10 بالطرق التالية:

$10 \times 10 \times 10 = 10^3$

وذلك لأن هناك 10 خيارات لتوزيع كل من المشاكل الثلاث المتبقية على كل من الأصدقاء.

إذاً، عدد الطرق الإجمالي لتوزيع المشاكل هو حاصل ضرب الطرق لاختيار المشاكل وتوزيعها:

$10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^4$

وبالتالي، هناك 10,000 طريقة ممكنة يمكن لألكس توزيع 5 مشاكل رياضية مختلفة على 10 من أصدقائه، مسمحًا لكل صديق بتلقي أكثر من مشكلة واحدة.

لحل مسألة توزيع 5 مشاكل رياضية مختلفة على 10 من الأصدقاء مع السماح لكل صديق بتلقي أكثر من مشكلة واحدة، يمكننا استخدام مفهوم الاختيار والتوزيع.

أولاً وقبل البدء في الحل، نحتاج إلى فهم بعض القوانين والمفاهيم المستخدمة:

1. قانون الاختيار (Combination Rule):
   يستخدم في حساب عدد الطرق الممكنة لاختيار عدد معين من العناصر من بين مجموعة معينة. إذا كانت لدينا مجموعة من $n$ عناصر ونريد اختيار $k$ عناصر منها بدون اعتبار للترتيب، فإن عدد الاختيارات الممكنة يُعطى بالصيغة:
   $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
   حيث $n!$ تعبر عن عامل الترتيب (الفاكتوريال) للعدد $n$.

2. قانون الضرب (Multiplication Rule):
   يُستخدم لحساب عدد الطرق الممكنة لحدوث سلسلة من الأحداث المتتالية. إذا كانت لدينا $n_1$ طريقة لإنجاز الحدث الأول، و $n_2$ طريقة لإنجاز الحدث الثاني، وهكذا، فإن إجمالي عدد الطرق الممكنة لإنجاز كل الأحداث هو حاصل ضرب الأعداد:
   $\text{إجمالي الطرق} = n_1 \times n_2 \times \ldots \times n_k$

الآن، نعود إلى المسألة. لدينا 5 مشاكل رياضية مختلفة يجب توزيعها على 10 أصدقاء، مع السماح لكل صديق بتلقي أكثر من مشكلة واحدة.

أولاً، نحسب عدد الطرق التي يمكن بها اختيار 2 مشكلة من بين 5 مشاكل باستخدام قانون الاختيار:
$\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

ثم، بعد أن يحدد ألكس المشكلتين التي يريد تخصيصهما لأصدقائه، يبقى لديه 3 مشاكل يمكن توزيعها على الأصدقاء الباقين. لكل مشكلة يمكن توزيعها على أي من الأصدقاء الـ 10 بـ 10 طرق.

وبما أن عدد الطرق لاختيار المشاكل وتوزيعها مستقل عن بعضه، فإننا نستخدم قانون الضرب لحساب الإجمالي:
$10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^4$

وبالتالي، هناك 10,000 طريقة ممكنة يمكن لألكس توزيع 5 مشاكل رياضية مختلفة على 10 من أصدقائه، مسمحًا لكل صديق بتلقي أكثر من مشكلة واحدة.