توزيع الشوكولاتة في قوالب صغيرة (مسألة رياضيات)

عند توزيع كل الشوكولاتة من وعاء على شكل نصف كرة بنفس الحجم الذي يبلغ نصف قطره 1 قدم إلى 27 قوالب متطابقة على شكل نصف كرة، فما هو نصف قطر كل من القوالب الصغيرة، بالأقدام؟

لحساب ذلك، يمكننا استخدام الحجم الإجمالي للشوكولاتة في الوعاء الأصلي وتقسيمه على عدد القوالب الصغيرة للعثور على حجم كل قالب صغير.

حجم الوعاء الأصلي = الحجم الإجمالي للشوكولاتة في الوعاء الأصلي

الحجم الإجمالي للوعاء الأصلي = (4/3) * π * r^3

حيث r هو نصف قطر الوعاء الأصلي، ونصف القطر يساوي 1 قدم.

إذاً، r = 1 قدم.

نستخدم هذا لحساب حجم الوعاء الأصلي:

الحجم الإجمالي للوعاء الأصلي = (4/3) * π * (1)^3 = (4/3) * π قدم^3

الآن نقوم بتوزيع هذا الحجم على عدد القوالب الصغيرة (27 قالب):

حجم كل قالب صغير = الحجم الإجمالي للوعاء الأصلي / عدد القوالب الصغيرة

= [(4/3) * π] / 27 قدم^3

الآن نستخرج الجذر التكعيبي لهذا الحجم للعثور على نصف قطر القالب الصغير:

نصف القطر = (حجم القالب)^(1/3)

= [((4/3) * π) / 27]^(1/3) قدم

الآن نحسب القيمة العددية لهذا التعبير للحصول على النصف القطر بالأقدام.

بعد الحساب، ستحصل على القيمة النهائية لنصف القطر لكل قالب صغير، بالأقدام.

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى استخدام القوانين الخاصة بحساب حجم الأجسام الهندسية، مثل كرة ونصف كرة. القوانين المستخدمة هي:

1. حجم الكرة:
   $V = \frac{4}{3} \pi r^3$
   حيث $V$ هو حجم الكرة و $r$ هو نصف قطرها.

2. حجم النصف كرة:
   إذا قطعنا الكرة إلى نصفين، فيتم حساب حجم النصف كرة باستخدام نفس الصيغة لحجم الكرة ولكن نقسم الناتج على 2:
   $V = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \pi r^3$

3. توزيع الحجم بالتساوي:
   عندما نوزع حجم الكرة أو النصف كرة على عدد معين من الأشكال، فإننا نقسم حجم الكرة على عدد الأشكال للحصول على حجم كل قالب.

الآن، لحساب نصف قطر القوالب الصغيرة، يمكننا استخدام هذه القوانين. نصف قطر الوعاء الأصلي هو 1 قدم، ونريد توزيع حجمه بالتساوي على 27 قالب.

لذا، نبدأ بحساب حجم الوعاء الأصلي، ومن ثم نقسمه على عدد القوالب الصغيرة:

$V_{\text{وعاء}} = \frac{4}{3} \pi (1)^3 = \frac{4}{3} \pi \text{ قدم}^3$

ثم نقسم حجم الوعاء الأصلي على عدد القوالب الصغيرة:

$V_{\text{قالب}} = \frac{V_{\text{وعاء}}}{27} = \frac{\frac{4}{3} \pi}{27} \text{ قدم}^3$

الآن، نستخرج الجذر التكعيبي لهذا الحجم للحصول على نصف قطر القالب الصغير:

$r_{\text{صغير}} = \sqrt[3]{V_{\text{قالب}}} = \sqrt[3]{\frac{\frac{4}{3} \pi}{27}} \text{ قدم}$

بعد الحساب، سنحصل على القيمة النهائية لنصف القطر لكل قالب صغير، بالأقدام.