توزيع الشوكولاتة: حل مسألة القوالب الصغيرة (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي: لدينا وعاء على شكل نصف كرة بنصف قطر يبلغ 1 قدم وقد تم ملء الوعاء بالكامل بالشوكولاتة. يتم توزيع الشوكولاتة بالتساوي بين 27 قالبًا صغيرًا بنصف كرة ومتطابقة. ما هو نصف قطر كل من القوالب الصغيرة، بالأقدام؟

الحل:
لحساب حجم الشوكولاتة الكلي في الوعاء الكبير، نستخدم حجم النصف الكرة الكبيرة، والذي يمثله الشكل التالي:

$V_{\text{كبير}} = \frac{2}{3} \pi r_{\text{كبير}}^3$

حيث $r_{\text{كبير}}$ هو نصف قطر الوعاء الكبير. بعد ذلك، نقسم حجم الشوكولاتة الكلي على عدد القوالب الصغيرة للحصول على حجم الشوكولاتة في كل قالب صغير:

$V_{\text{صغير}} = \frac{V_{\text{كبير}}}{27}$

ثم نستخدم حجم النصف الكرة الصغيرة لحساب نصف قطر القالب الصغير:

$V_{\text{صغير}} = \frac{2}{3} \pi r_{\text{صغير}}^3$

نقوم بحل المعادلة للحصول على $r_{\text{صغير}}$. سنقوم بذلك بطرح ١٦ قيمة تربيعية للحصول على نصف القطر.

الآن دعونا نقوم بحساب القيم:

$r_{\text{كبير}} = 1 \, \text{قدم}$

$V_{\text{كبير}} = \frac{2}{3} \pi (1)^3 = \frac{2}{3} \pi \, \text{قدم}^3$

$V_{\text{صغير}} = \frac{\frac{2}{3} \pi}{27} \, \text{قدم}^3$

الآن سنقوم بحساب $r_{\text{صغير}}$:

$\frac{2}{3} \pi r_{\text{صغير}}^3 = V_{\text{صغير}}$

$r_{\text{صغير}}^3 = \frac{V_{\text{صغير}}}{\frac{2}{3} \pi}$

$r_{\text{صغير}}^3 = \frac{V_{\text{صغير}}}{\frac{2}{3} \pi}$

$r_{\text{صغير}} = \left(\frac{3V_{\text{صغير}}}{2\pi}\right)^{\frac{1}{3}}$

وبعد حساب القيم، نحصل على النصف القطر للقالب الصغير.

بدايةً، سنستخدم حجم الكرة الكبيرة باعتباره قاعدة لنحسب حجم الشوكولاتة الإجمالي في الوعاء الكبير. لحساب حجم الكرة، نستخدم القاعدة التي تقول أن حجم الكرة هو $\frac{2}{3} \pi r^3$. حيث $r_{\text{كبير}}$ هو نصف قطر الوعاء الكبير (الكرة).

$V_{\text{كبير}} = \frac{2}{3} \pi r_{\text{كبير}}^3$

في هذه المرحلة، يكون لدينا حجم الشوكولاتة في الوعاء الكبير.

ثم، نقسم هذا الحجم على عدد القوالب الصغيرة (27 قالبًا) لنحصل على حجم الشوكولاتة في كل قالب صغير:

$V_{\text{صغير}} = \frac{V_{\text{كبير}}}{27}$

الآن نستخدم حجم الكرة الصغيرة بنصف قطر $r_{\text{صغير}}$ لحساب حجم الشوكولاتة في القالب الصغير، باستخدام نفس القاعدة:

$V_{\text{صغير}} = \frac{2}{3} \pi r_{\text{صغير}}^3$

نعيد ترتيب المعادلة لحساب $r_{\text{صغير}}$:

$r_{\text{صغير}}^3 = \frac{V_{\text{صغير}}}{\frac{2}{3} \pi}$

للحصول على قيمة $r_{\text{صغير}}$، نقوم بأخذ الجذر التكعيبي للناتج:

$r_{\text{صغير}} = \left(\frac{3V_{\text{صغير}}}{2\pi}\right)^{\frac{1}{3}}$

القوانين المستخدمة:

1. حجم الكرة: $V = \frac{2}{3} \pi r^3$
2. توزيع الحجم: $V_{\text{صغير}} = \frac{V_{\text{كبير}}}{27}$
3. حجم الكرة الصغيرة: $V_{\text{صغير}} = \frac{2}{3} \pi r_{\text{صغير}}^3$
4. حساب $r_{\text{صغير}}$: $r_{\text{صغير}} = \left(\frac{3V_{\text{صغير}}}{2\pi}\right)^{\frac{1}{3}}$

تم استخدام هذه القوانين لحل المسألة بشكل دقيق ومنظم.