توزيع الشوكولاتة: حل مسألة الأقواس الصغيرة (مسألة رياضيات)

نعتبر وعاءً على شكل نصف كرة بنصف قطر X قد امتلأ بالكامل بالشوكولاتة. بعد ذلك، تم توزيع الشوكولاتة بالتساوي بين 27 قالبًا صغيرًا متطابقة الشكل على شكل أنصاف كرات. نحن نسعى لحساب نصف قطر كل واحدة من تلك الأقواس الصغيرة.

لنقم بحل المسألة:

نعلم أن حجم الكرة الكبيرة يمكن حسابه باستخدام الصيغة التالية:
$V_{\text{كرة الكبيرة}} = \frac{2}{3} \pi X^3$

حيث $X$ هو نصف قطر كرة الكبيرة.

بعد ذلك، نقوم بتقسيم حجم الكرة الكبيرة على عدد الكرات الصغيرة للحصول على حجم كل كرة صغيرة:
$V_{\text{كرة صغيرة}} = \frac{V_{\text{كرة كبيرة}}}{27}$

نستخدم هذا الحجم لحساب نصف قطر الكرة الصغيرة باستخدام الصيغة:
$V_{\text{كرة صغيرة}} = \frac{2}{3} \pi r^3$

حيث $r$ هو نصف قطر الكرة الصغيرة.

نعين القيم للحساب:

$\frac{2}{3} \pi X^3 = 27 \times \frac{2}{3} \pi r^3$

نقوم بتبسيط العبارة:

$X^3 = 27r^3$

ثم نقوم بأخذ الجذر التكعيبي للطرفين للحصول على النصف الطولي لنصف القطر:
$X = 3r$

إذا كانت الإجابة هي $\frac{1}{3}$، فإن قيمة المتغير المجهول $X$ تكون:
$X = 3 \times \frac{1}{3} = 1$

إذاً، إجابتنا هي:
$\text{نصف قطر الكرة الصغيرة} = 1$

والقيمة المجهولة $X$ هي:
$X = 1$

لنقم بحل المسألة بشكل أكثر تفصيلاً ونستعرض القوانين المستخدمة في الحل.

المسألة تتعلق بحجم الكرات وتوزيع الشوكولاتة بينها. نستخدم الحقائق التالية:

1. حجم الكرة الكبيرة:
   حجم الكرة الكبيرة يمكن حسابه باستخدام الصيغة لحجم الكرة:
   $V_{\text{كرة الكبيرة}} = \frac{2}{3} \pi r^3$

2. توزيع الشوكولاتة:
   نعلم أن الشوكولاتة تم توزيعها بالتساوي بين 27 كرة صغيرة متطابقة الشكل. لذا، حجم كل كرة صغيرة هو جزء من حجم الكرة الكبيرة:
   $V_{\text{كرة صغيرة}} = \frac{V_{\text{كرة كبيرة}}}{27}$

3. حجم الكرة الصغيرة:
   حجم الكرة الصغيرة يمكن حسابه باستخدام الصيغة نفسها:
   $V_{\text{كرة صغيرة}} = \frac{2}{3} \pi r’^3$

   حيث $r’$ هو نصف قطر الكرة الصغيرة.

4. علاقة بين نصف قطر الكرة الكبيرة والصغيرة:
   من خلال توزيع الشوكولاتة، نعرف أن النصف الطولي لنصف قطر الكرة الكبيرة يتناسب بشكل مباشر مع نصف قطر الكرة الصغيرة:
   $X = 3r’$

الآن، لحساب قيمة $r’$ (نصف قطر الكرة الصغيرة)، نستخدم العلاقة بين حجم الكرة الكبيرة والصغيرة:

$X^3 = 27r’^3$

نقوم بحساب النصف الطولي لنصف قطر الكرة الصغيرة باستخدام العلاقة $X = 3r’$:

$X = 3r’$

ثم نحسب القيمة النهائية لنصف قطر الكرة الصغيرة $r’$ والتي تساوي 1.