توزيع الاحتمال الثنائي: حالة سقوط الأمطار في تل أبيب (مسألة رياضيات)

فرضًا أن احتمالية سقوط الأمطار في تل أبيب في أي يوم معين تبلغ 50٪، نرغب في حساب احتمالية حدوث الظاهرة (الأمطار) في 4 من أيام عشوائية من أصل 6 أيام.

لحساب هذه الاحتمالية، نستخدم توزيع احتمالات الاحتمال الثنائي (Binomial Probability Distribution). الصيغة العامة لحساب احتمالية وقوع k حالة ناجحة في n محاولة هي:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \times p^k \times (1 – p)^{n – k}$

حيث:

• $P(X = k)$ هو احتمالية حدوث k حالة ناجحة.
• $\binom{n}{k}$ هو عدد الطرق الممكنة لاختيار k عنصرًا من بين n عناصر، ويمثلها الرمز “ن choose k” ويحسب بالصيغة: $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n – k)!}$.
• $p$ هو احتمالية حدوث حالة ناجحة في محاولة واحدة.
• $(1 – p)$ هو احتمالية عدم حدوث الحالة الناجحة في محاولة واحدة.
• $n$ هو عدد المحاولات.

في هذه الحالة:

• $n = 6$ (عدد الأيام الإجمالي)
• $k = 4$ (عدد الأيام التي تساقطت فيها الأمطار)
• $p = 0.5$ (احتمالية سقوط الأمطار في يوم واحد)

باستخدام هذه القيم في الصيغة، نحسب الاحتمالية كالتالي:

$P(X = 4) = \binom{6}{4} \times (0.5)^4 \times (1 – 0.5)^{6 – 4}$

حيث:
$\binom{6}{4} = \frac{6!}{4!(6 – 4)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

الآن، نقوم بحساب القيم:

$P(X = 4) = 15 \times (0.5)^4 \times (0.5)^2$

$P(X = 4) = 15 \times 0.0625 \times 0.25$

$P(X = 4) = 0.234375$

لذلك، احتمالية أن تسقط الأمطار في تل أبيب في 4 من 6 أيام عشوائية هي حوالي 23.44٪.

بالتأكيد، سنقوم بتوضيح التفاصيل الأكثر دقة في حل هذه المسألة وذلك باستخدام توزيع الاحتمال الثنائي والقوانين المرتبطة به. لنبدأ بالقوانين المستخدمة:

1. توزيع الاحتمال الثنائي (Binomial Probability Distribution):

   • هذا التوزيع يستخدم لحساب احتمال حدوث حالة ناجحة (في هذه الحالة، سقوط الأمطار) في مجموعة محددة من المحاولات.

2. صيغة احتمال الثنائي:

   • الصيغة العامة لحساب احتمال حدوث k حالة ناجحة في n محاولة مع احتمالية نجاح واحدة هي:
     $P(X = k) = \binom{n}{k} \times p^k \times (1 – p)^{n – k}$

3. صيغة الاختيار التالي (Combination):

   • $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n – k)!}$
   • حيث يمثل n! عامل الرجلين (1 * 2 * 3 * … * n).

الآن، دعونا نستخدم هذه القوانين لحساب احتمالية سقوط الأمطار في تل أبيب في 4 من أيام الأسبوع:

1. حساب الاختيار (Combination):
   $\binom{6}{4} = \frac{6!}{4!(6 – 4)!} = \frac{720}{24} = 15$

2. تطبيق صيغة احتمال الثنائي:
   $P(X = 4) = 15 \times (0.5)^4 \times (0.5)^2$
   $P(X = 4) = 15 \times 0.0625 \times 0.25$
   $P(X = 4) = 0.234375$

إذاً، باستخدام هذه القوانين، نصل إلى أن احتمالية أن تسقط الأمطار في تل أبيب في 4 من 6 أيام عشوائية تكون حوالي 23.44٪.