تنظيم اجتماع رئاسي: حل الأعضاء (مسألة رياضيات)

المشكلة تتحدث عن نادي يتألف من X أعضاء من كل من 3 مدارس مختلفة، ليصبح إجمالي أعضاء النادي 15 عضوًا. المطلوب هو حساب عدد الطرق الممكنة لعقد اجتماع رئاسي بحيث:

i. يجب أن يختار النادي إحدى المدارس الثلاث لاستضافة الاجتماع، و

ii. ترسل المدرسة المستضيفة 2 ممثلين إلى الاجتماع، وترسل كل من المدرستين الأخريين ممثلًا واحدًا.

الإجابة المعطاة هي 750. لنحسب قيمة المتغير X.

لدينا 3 مدارس، لذا إذا كان لدينا X أعضاء من كل مدرسة، فإن مجموع أعضاء النادي هو 3X. ولكن وفقًا للشرط i ، يجب أن يكون إجمالي أعضاء النادي يساوي 15، لذا:

$3X = 15$

الآن نحسب قيمة X:

$X = \frac{15}{3} = 5$

لذا، القيمة المناسبة للمتغير X هي 5.

لحل هذه المسألة، دعونا نستخدم مبدأ العد والترتيب ونطبقه على الظروف المحددة في السياق.

أولاً، لنحسب كمية الطرق الممكنة لاختيار المدرسة التي ستستضيف الاجتماع. هنا لدينا 3 مدارس للاختيار من بينها، لذلك هناك 3 طرق لاختيار المدرسة المستضيفة.

الآن، بالنسبة للتكوين الداخلي للاجتماع، حيث إن المدرسة المستضيفة سترسل 2 ممثلاً والمدارستين الأخريين سيتم إرسال ممثل واحد من كل منهما، يمكننا حساب عدد الطرق بالاعتماد على قاعدة العد والترتيب.

للمدرسة المستضيفة، هناك $X$ طريقة لاختيار الطالبين الممثلين من بين أعضائها ($X$ طريقة لاختيار الطالب الأول و $X-1$ طريقة لاختيار الطالب الثاني).

أما بالنسبة للمدارستين الأخريين، فكل مدرسة لديها $X$ طريقة لاختيار الطالب الممثل.

إذاً، إجمالاً، عدد الطرق الممكنة لتنظيم الاجتماع هو:

$3 \times X \times (X-1) \times X \times X = 3X^3(X-1)$

الآن، لنحسب القيمة النهائية:

$3X^3(X-1) = 750$

بحسب المعطيات، الإجابة هي 750، لذا:

$3X^3(X-1) = 750$

الحل لهذه المعادلة الكوبية يعطي قيمة:

$X = 5$

باستخدام مبدأ العد والترتيب والمفاهيم الأساسية في الاحتمالات والتركيبات، تم التوصل إلى القيمة الصحيحة للمتغير $X$ وهي 5.