تنظيم اجتماع رئاسة النادي: 375 طريقة ممكنة (مسألة رياضيات)

المسألة الحسابية:

في نادٍ، هناك 5 أعضاء من كلٍّ من 3 مدارس مختلفة، مما يجعل إجمالي الأعضاء 15 عضوًا. كم هو عدد الطرق التي يمكن بها للنادي تنظيم اجتماع لرئاسة النادي بحيث تتوفر الشروط التالية:

i. يجب أن يكون الاجتماع في إحدى المدارس الثلاث.

ii. ترسل المدرسة المضيفة 2 ممثلين، في حين ترسل كل من المدرستين الأخريين ممثل واحد.

الحل:

لنقم بحساب عدد الطرق التي يمكن بها تنظيم الاجتماع وفقًا للشروط المحددة. نبدأ بحساب عدد الطرق التي يمكن بها اختيار المدرسة المضيفة، وهي إحدى المدارس الثلاث. هنا يوجد 3 طرق لاختيار المدرسة المضيفة.

ثم، بالنسبة للمدرسة المضيفة، يمكن اختيار 2 ممثلين من بين 5 أعضاء، وهنا يكون عدد الطرق هو الترتيب من 5 أعضاء اختيار 2، ويمثل ذلك بـ $P(5,2) = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!}$.

بالنسبة للمدارس الأخرى، يمكن اختيار ممثل واحد من بين 5 أعضاء، وهنا يكون العدد هو الترتيب من 5 أعضاء اختيار 1، ويمثل ذلك بـ $P(5,1) = \frac{5!}{(5-1)!} = \frac{5!}{4!}$ لكل مدرسة.

بالضرب في هذه القيم، نحصل على عدد الطرق الإجمالي:

عدد الطرق = عدد المدارس المضيفة * (عدد الطرق لاختيار 2 ممثلين من المدرسة المضيفة) * (عدد الطرق لاختيار ممثل واحد من المدرسة الأولى) * (عدد الطرق لاختيار ممثل واحد من المدرسة الثانية)

$عدد الطرق = 3 \times P(5,2) \times P(5,1) \times P(5,1)$

$عدد الطرق = 3 \times \frac{5!}{3!} \times \frac{5!}{4!} \times \frac{5!}{4!}$

$عدد الطرق = 3 \times \frac{5!}{3!} \times 5 \times 5$

$عدد الطرق = 3 \times 5 \times 5 \times 5$

$عدد الطرق = 375$

إذاً، هناك 375 طريقة ممكنة لتنظيم اجتماع رئاسة النادي وفقًا للشروط المحددة.

لحل هذه المسألة، سنستخدم قوانين الاحتمالات وقوانين الترتيب والتكامل. القوانين المستخدمة هي:

1. قانون الضرب:
   عندما نريد حساب عدد الطرق لحدوث أحداث مستقلة، نستخدم قانون الضرب. إذا كان لدينا عدة أحداث متسلسلة، نضرب عدد الطرق لكل حدث للحصول على الإجمال.

2. قانون الترتيب:
   إذا كان لدينا مجموعة من n عناصر ونريد اختيار r عنصرًا معينًا بترتيب، فإن عدد الطرق يكون $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$، حيث n! هو عامل الترتيب لـ n عنصر.

الآن، سنقوم بتطبيق هذه القوانين على المسألة:

1. اختيار المدرسة المضيفة:
   هنا يوجد 3 طرق لاختيار المدرسة المضيفة.

2. اختيار 2 ممثلين من المدرسة المضيفة:
   هنا سنستخدم قانون الترتيب، حيث عدد الطرق يكون $P(5,2) = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!}$.

3. اختيار ممثل واحد من المدرسة الأولى:
   هنا سنستخدم قانون الترتيب أيضًا، حيث عدد الطرق يكون $P(5,1) = \frac{5!}{(5-1)!} = \frac{5!}{4!}$، ونكرر هذا الخطوة لاختيار ممثل واحد من المدرسة الثانية.

4. حساب الإجمال باستخدام قانون الضرب:
   عدد الطرق الإجمالي يكون:
   $عدد الطرق = 3 \times P(5,2) \times P(5,1) \times P(5,1)$

   إذاً:
   $عدد الطرق = 3 \times \frac{5!}{3!} \times \frac{5!}{4!} \times \frac{5!}{4!}$

   $عدد الطرق = 3 \times \frac{5!}{3!} \times 5 \times 5$

   $عدد الطرق = 3 \times 5 \times 5 \times 5$

   $عدد الطرق = 375$

باستخدام هذه القوانين، نحقق حل المسألة بطريقة دقيقة ومفصلة.