تناقض في المتتابعات الحسابية والهندسية (مسألة رياضيات)

لنعتبر الأعداد $a، b، c$ على التوالي وفقًا للمتتابعة الحسابية، حيث $a$ أقل من $b$ و $b$ أقل من $c$. بالإضافة إلى ذلك، نعرف أن $a$، $c$، $b$ تشكل متتابعة هندسية.

نعلم أنه في متتابعة حسابية، العنصر الأوسط هو المتوسط بين أول وآخر عناصرها. لذلك، $b$ هو المتوسط بين $a$ و $c$، أي:
$b = \frac{a + c}{2}$

ونعلم أيضًا أن العنصر الوسطي في متتابعة هندسية هو جذر العنصرين المتتاليين. لذلك:
$b^2 = ac$

الآن، لدينا نظام معادلات يحتوي على ثلاث متغيرات: $a$، $b$، $c$. لحل هذا النظام، يمكننا الاستفادة من العلاقات التي وردت أعلاه.

نستبدل $b$ في المعادلة الثانية بقيمته من المعادلة الأولى:
$\left(\frac{a + c}{2}\right)^2 = ac$

نواجه الآن معادلة تحتوي على متغيرين فقط: $a$ و $c$، وهي معادلة من الدرجة الثانية. سنحل هذه المعادلة للعثور على القيم الممكنة لـ $a$ و $c$.

نقوم بتوسيع $(a + c)^2$:
$a^2 + 2ac + c^2 = 4ac$

الآن نقوم بتجميع المصطلحات المماثلة وترتيب العناصر:
$c^2 – 2ac + a^2 = 0$

تعتبر هذه معادلة من الدرجة الثانية بالنسبة لـ $c$، وبمعالجتها كمعادلة تربيعية نحصل على:
$c = \frac{2a \pm \sqrt{4a^2 – 4a^2}}{2} = \frac{2a \pm 0}{2} = a$

حيث أن قيمة الجذر تحت الإشارة تساوي صفر. ولكن $c$ لا يمكن أن يكون مساويًا لـ $a$، وإذاً هناك خطأ في الحساب.

دعونا نعود للمعادلة الأصلية:
$b^2 = ac$

نحتاج أيضًا إلى مراعاة أنه بما أن $b$ هو المتوسط الحسابي بين $a$ و $c$، فإنه يجب أن يكون أكبر من $a$ وأصغر من $c$.

لكن $b^2 = ac$ يعني أن $b$ يكون جذرًا للعدد $ac$، وهذا يعني أن $b$ يجب أن يكون أقل من $c$.

بما أن $b^2 = ac$، فإن $b$ يجب أن يكون أقل من $\sqrt{ac}$ وأكبر من $\sqrt{ac}$ في الوقت نفسه، وهذا يستحيل، لذا نترك الأمر مع الاعتبار.

بالتالي، لا يوجد حل حيث يكون $a$، $b$، $c$ عبارة عن متتابعة حسابية ومتتابعة هندسية في نفس الوقت.

بالتالي، لا يوجد قيم ممكنة للمتغيرات تحت الشروط المطلوبة، وبالتالي لا يوجد قيمة ممكنة لـ $c$.

نظرًا لأن المسألة لا تحتوي على حل بمعنى التوافق مع الشروط المعطاة، فسنقوم بتحليل القوانين المستخدمة والتي أدت إلى هذا الاستنتاج.

1. الشروط الأولية:

   • الأعداد $a$، $b$، $c$ هي تتابع حسابي: هذا يعني أن الفرق بين كل عددين متتاليين هو ثابت. فمن هنا نعرف أن $b – a = c – b$.

2. الشروط الثانية:

   • الأعداد $a$، $c$، $b$ تشكل تتابع هندسي: هذا يعني أن نسبة كل عددين متتاليين هي ثابتة. إذاً، $c/a = b/c$.

3. المعالجة الرياضية:

   • باستخدام الشروط الأولية والثانية، يمكننا بناء نظام من المعادلات.
   • نظرًا لأن $b – a = c – b$، يمكننا كتابة $b$ كمتوسط حسابي بين $a$ و $c$: $b = (a + c)/2$.
   • من الشروط الثانية، نعرف أن $b^2 = ac$.
   • بوجود هذه المعادلات، يمكننا التلاعب بها لإيجاد الحلول الممكنة.

4. التحليل النهائي:

   • بعد إعادة التفكير في الشروط المعطاة، نجد أنه لا يوجد حل متوافق مع الشروط.
   • يمكننا أن نرى أن الشرطين المعطيان لا يمكن أن يتوافقا معًا للحصول على قيمة محددة للأعداد.
   • في الواقع، الشرط الثاني يفرض أن $b$ يجب أن يكون أصغر من $c$، بينما الشرط الأول يفرض أن $b$ يجب أن يكون أكبر من $c$، وهذا تناقض.
   • وبالتالي، لا يمكن للأعداد $a$، $b$، $c$ أن تشكل تتابع حسابي وتتابع هندسي في نفس الوقت.

5. الاستنتاج:

   • نظرًا لعدم وجود حل متوافق مع الشروط المعطاة، لا يمكن تحديد قيمة محددة لـ $c$ في هذه المسألة.

بالتالي، يمكننا استنتاج أن المسألة لا تحتوي على حل متوافق مع الشروط المعطاة، وبالتالي لا يمكن تحديد أصغر قيمة ممكنة لـ $c$ في هذه الحالة.