تمثيل الأعداد في نظام الأساس الأسدودي (مسألة رياضيات)

التمثيل الأساسي لعدد طبيعي في نظام الأساس الأسدودي يتم باستخدام الأسياء لعوامل أولية لهذا العدد، حيث يُمثل كل موضع في النظام برقم أولي ويتم تعبئة هذا الموضع بالأس المتوافق مع العدد الأولي، بدءًا من الناحية اليمنى بأصغر عدد أولي والتقدم نحو اليسار بزيادة حجم الأعداد الأولية. على سبيل المثال، إذا كان $84 = 7^1 \times X \times 3^1 \times 2^2$، فيمكن كتابته كـ $1012$ في نظام الأساس الأسدودي. وبناءً على ذلك، إذا كان $225$ مكتوبًا في نظام الأساس الأسدودي بشكل $220$، فما هو قيمة المتغير المجهول $X$؟

الحل:
لفهم قيمة المتغير $X$، يمكننا مقارنة تمثيل العدد $225$ في نظام الأساس الأسدودي مع التمثيل المعطى للعدد $84$.

نعلم أن $225 = 5^2 \times 3^2$. وبما أننا نعلم أن العدد $84$ يُمثل في نظام الأساس الأسدودي كـ $1012$، نستنتج أن العدد $225$ يمثل في نظام الأساس الأسدودي كـ $220$.

إذاً، يمكننا التعبير عن هذا العدد كالتالي:
$225 = 2^2 \times 7^0 \times 5^2 \times 3^2$

ومن خلال المقارنة، نجد أن $X$ يكون مقداره $7^0$ أو ببساطة $1$.

إذاً، قيمة المتغير المجهول $X$ هي $1$.

لنقم بحل المسألة بشكل أكثر تفصيلاً ونستخدم القوانين الرياضية المتعلقة بتمثيل الأعداد في نظام الأساس الأسدودي وفحص العلاقة بين الأعداد الأولية وتمثيلها.

المسألة تتعلق بتمثيل العدد $225$ في نظام الأساس الأسدودي والمقارنة مع تمثيل العدد $84$. دعونا نبدأ بتمثيل كل منهما.

1. تمثيل $225$ في نظام الأساس الأسدودي:
   $225 = 2^2 \times 3^2 \times 5^2$

ونظرًا لأننا نقوم بتمثيله في نظام الأساس الأسدودي، نكتبه كـ $220$ حيث تأتي القيمة المفقودة في التمثيل من عدم وجود عامل $7$، وبالتالي يكون للعدد $7$ أس صفر.

2. تمثيل $84$ في نظام الأساس الأسدودي:
   $84 = 2^2 \times 3^1 \times 7^1$

ونقوم بكتابته كـ $1012$ في نظام الأساس الأسدودي، حيث يُمثل الموضع الثالث العامل $7$ بالأس 1، وهو العامل المطلوب تحديده في المسألة.

الآن، نقوم بمقارنة الاثنين ونحدد قيمة المتغير المجهول $X$:

$225 = 2^2 \times 3^2 \times 5^2$
$84 = 2^2 \times 3^1 \times 7^1$

من المقارنة، نجد أن العامل الناقص هو $7^0$ أو ببساطة $1$، وهذا يكون مكان المتغير $X$ في تمثيل العدد $84$.

القوانين المستخدمة:

1. تمثيل الأعداد بنظام الأساس الأسدودي: تعتمد على فكرة تمثيل العدد باستخدام قوى الأعداد الأولية في الأساس الأسدودي.
2. تحديد قيم المتغيرات الغير معروفة: يمكننا تحديد قيم المتغيرات الغير معروفة من خلال مقارنة تمثيلين لأعداد مختلفة.
3. التفاعل بين الأعداد الأولية: تستخدم قوانين الأعداد الأولية مثل الضرب والقسمة لتحليل التمثيل الأسدودي والتعامل مع المتغيرات المجهولة.

باستخدام هذه القوانين، نستنتج أن قيمة المتغير المجهول $X$ هي $1$.