تمارين محلولة على الأسس

تمارين محلولة على الأسس في الرياضيات

تعتبر الأسس من المواضيع الأساسية في الرياضيات التي تُمَكن الطلاب من فهم العديد من المفاهيم الرياضية الأكثر تعقيدًا. يمكن تعريف الأسس بأنها عملية ضرب عدد بنفسه عدة مرات وفقًا لمقدار الأس. يعتبر هذا المفهوم من الركائز الهامة التي تبني عليها الكثير من المواضيع الرياضية الأخرى مثل الجبر والرياضيات المتقدمة. في هذا المقال، سوف نستعرض تمارين محلولة تشرح كيفية التعامل مع الأسس وعملياتها بشكل مفصل ومبسط.

تعريف الأسس

الأساس هو عدد يُضرب في نفسه عدة مرات، حيث يتم تمثيل ذلك باستخدام الرقم الذي يمثل الأس. مثلاً في العبارة الرياضية $a^n$، يكون $a$ هو الأساس و $n$ هو الأس. تعني هذه العبارة أن الأساس $a$ يتم ضربه في نفسه $n$ مرات.

على سبيل المثال:

• $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$

• $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$

يتطلب الأمر فهم بعض القواعد الأساسية للعمل مع الأسس لتسهيل التعامل معها.

قواعد الأسس الأساسية

قبل أن نبدأ في حل التمارين، من الضروري أن نتعرف على القواعد الأساسية للأسس التي تساعد في تسهيل العمليات الحسابية:

1. القاعدة الأولى: ضرب الأسس (منتجات الأسس)

   $$a^m \times a^n = a^{m+n}$$

   عندما نضرب عددين لهما نفس الأساس، فإننا نحتفظ بالأساس نفسه ونضيف الأسس.

2. القاعدة الثانية: قسمة الأسس (نسبة الأسس)

   $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$

   عندما نقسم عددين لهما نفس الأساس، نحتفظ بالأساس نفسه ونطرح الأس.

3. القاعدة الثالثة: القوة في القوة

   $$(a^m)^n = a^{m \times n}$$

   إذا كانت لدينا قوة مرفوعة إلى قوة أخرى، فإننا نضرب الأسس.

4. القاعدة الرابعة: الأس صفر

   $$a^0 = 1 \quad \text{(شرط أن يكون \( a \neq 0 \))}$$

   أي عدد مرفوع للأس صفر يساوي 1، بشرط ألا يكون الأساس صفرًا.

5. القاعدة الخامسة: الأس سالب

   $$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$

   الأس السالب يعني أخذ المقلوب للأس الموجب المقابل له.

6. القاعدة السادسة: الأسس العشرية

   $$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$$

   الأس الذي هو كسر يعبر عن الجذر $n$ للعدد $a$ مرفوعًا للقوة $m$.

تمارين محلولة

لنأخذ بعض التمارين المحلولة التي توضح كيفية تطبيق القواعد المختلفة للأسس.

التمرين الأول: ضرب الأسس

أوجد قيمة $3^4 \times 3^2$.

الحل:
نستخدم القاعدة الأولى لعمليات ضرب الأسس:

$$3^4 \times 3^2 = 3^{4+2} = 3^6$$

الآن، نقوم بحساب $3^6$:

$$3^6 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 729$$

إذن، قيمة $3^4 \times 3^2$ هي 729.

التمرين الثاني: قسمة الأسس

أوجد قيمة $\frac{5^7}{5^3}$.

الحل:
نستخدم القاعدة الثانية لعمليات قسمة الأسس:

$$\frac{5^7}{5^3} = 5^{7-3} = 5^4$$

الآن، نقوم بحساب $5^4$:

$$5^4 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 625$$

إذن، قيمة $\frac{5^7}{5^3}$ هي 625.

التمرين الثالث: القوة في القوة

أوجد قيمة $(2^3)^2$.

الحل:
نستخدم القاعدة الثالثة للقوة في القوة:

$$(2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6$$

الآن، نقوم بحساب $2^6$:

$$2^6 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 64$$

إذن، قيمة $(2^3)^2$ هي 64.

التمرين الرابع: الأس صفر

أوجد قيمة $7^0$.

الحل:
طبقًا للقاعدة الرابعة، أي عدد مرفوع للأس صفر يساوي 1:

$$7^0 = 1$$

إذن، قيمة $7^0$ هي 1.

التمرين الخامس: الأس سالب

أوجد قيمة $2^{-3}$.

الحل:
نستخدم القاعدة الخامسة للأسس السالبة:

$$2^{-3} = \frac{1}{2^3}$$

الآن، نقوم بحساب $2^3$:

$$2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$$

إذن:

$$2^{-3} = \frac{1}{8}$$

إذن، قيمة $2^{-3}$ هي $\frac{1}{8}$.

التمرين السادس: الأس ككسر

أوجد قيمة $27^{\frac{2}{3}}$.

الحل:
نستخدم القاعدة السادسة للأسس العشرية:

$$27^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{27^2}$$

أولاً، نحسب $27^2$:

$$27^2 = 27 \times 27 = 729$$

الآن، نأخذ الجذر التكعيبي للعدد 729:

$$\sqrt[3]{729} = 9$$

إذن، قيمة $27^{\frac{2}{3}}$ هي 9.

التمرين السابع: تطبيق متعدد القواعد

أوجد قيمة $\frac{2^5 \times 3^4}{6^3}$.

الحل:
أولاً، نحلل المقام $6^3$ إلى العوامل الأولية:

$$6^3 = (2 \times 3)^3 = 2^3 \times 3^3$$

الآن، نضع المعادلة:

$$\frac{2^5 \times 3^4}{2^3 \times 3^3}$$

نستخدم القاعدة الثانية لعمليات القسمة:

$$= 2^{5-3} \times 3^{4-3} = 2^2 \times 3^1$$

نحسب الآن:

$$2^2 = 4 \quad \text{و} \quad 3^1 = 3$$

إذن:

$$2^2 \times 3 = 4 \times 3 = 12$$

إذن، قيمة $\frac{2^5 \times 3^4}{6^3}$ هي 12.

خاتمة

تُعد الأسس من الموضوعات الأساسية التي تساعد في تبسيط العديد من العمليات الحسابية، وهي تشكل قاعدة لفهم الجبر والرياضيات المتقدمة. من خلال دراسة القواعد المختلفة للأسس وتطبيقاتها في التمارين، يصبح بإمكاننا حل المشكلات الرياضية بسهولة ويسر.