تكرار الكسر 8/11 وأقل عدد من الأرقام (مسألة رياضيات)

نعتبر الكسر ٨/١١، ونقوم بحساب قيمته العشرية. يتم ذلك عن طريق قسمة ٨ على ١١، ونراقب الباقي ونقوم بتكرار العملية.

$\frac{8}{11} = 0.72727272\ldots$

نلاحظ أن الكسر ٨/١١ يتحول إلى عشري متكرر يتكرر الرقم ٧. السؤال هو: ما هو أقل عدد من الأرقام في الكتلة المتكررة لهذا الكسر؟

لحساب ذلك، يمكننا أن نرى أن الكتلة المتكررة هي ٧٢، وهي تحتوي على ٢ أرقام. إذاً، الإجابة هي أن أقل عدد من الأرقام في الكتلة المتكررة لكسر ٨/١١ هو ٢.

لحساب تكرار الكسر $\frac{8}{11}$ بالأرقام العشرية، نستخدم مفهوم القسمة. قد يكون من المفيد فهم بعض القوانين والمفاهيم المتعلقة بالقسمة والكسور:

1. القسمة الطويلة:
   في هذه الحالة، نقوم بكتابة $\frac{8}{11}$ ونقوم بالقسمة الطويلة. نضع الرقم 8 على اليمين ونقسمه على 11. الناتج هو 0.727272…

   $$\begin{array}{r} \underline{0.72} \\ 11 | 8.00 \\ \underline{-77} \\ 23 \\ \underline{-22} \\ 10 \\ \underline{-11} \\ 9 \\ \end{array}$$

   الرقم 72 يكون عدداً متكرراً.

2. التكرار:
   يعني وجود الرقم المتكرر 72 أن ٨/١١ يتكرر بعد الفاصلة العشرية.

3. تحويل التكرار إلى كسر:
   إذا كانت الكتلة المتكررة تتألف من $n$ أرقام، يمكننا تحويلها إلى كسر عن طريق القسمة. في هذه الحالة، الكتلة المتكررة هي 72 وتتألف من رقمين، لذا نقسم 72 على 99 (لأن هناك رقمين في الكتلة المتكررة، وكل رقم يساوي 9).

   $\frac{72}{99}$

   نقلل الكسر إلى أبسط صورة ممكنة (بقسمة البسط والمقام على عامل مشترك):

   $\frac{8}{11}$

   ونلاحظ أن الناتج يتطابق مع الكسر الأصلي.

لذا، يتمثل الحل في استخدام القسمة الطويلة لحساب التكرار ومن ثم تحويله إلى كسر بتقليله إلى أبسط صورة.