تكبير قطر وارتفاع الأسطوانة: حساب النسبة (مسألة رياضيات)

نأخذ اسطوانة، ونزيد قطرها ثلاث مرات ونضاعف ارتفاعها. نريد حساب النسبة بين حجم الاسطوانة الجديدة والقديمة.

النص المعدل:
إذا كانت نسبة قطر اسطوانة معينة تكون ثلاث مرات القطر السابق، وكانت نسبة ارتفاعها ثلاث مرات الارتفاع السابق، فما هو حجم الاسطوانة الجديدة مقسوماً على حجم الاسطوانة القديمة؟

الحل:
لنقم أولاً بتعريف الأبعاد القديمة للاسطوانة، لنفرض أن القطر القديم يكون “d” والارتفاع يكون “h”. إذاً، حجم الاسطوانة القديمة يمكن حسابه باستخدام الصيغة:

$V_{\text{قديم}} = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 \times h$

الآن، وبناءً على الشروط المعطاة، نعتبر القطر الجديد يكون $3d$ والارتفاع الجديد يكون $3h$. لذا، حجم الاسطوانة الجديدة يمكن حسابه بنفس الصيغة:

$V_{\text{جديد}} = \pi \left(\frac{3d}{2}\right)^2 \times (3h)$

الآن، لحساب النسبة بين حجم الاسطوانة الجديدة والقديمة، نقوم بقسمة الحجم الجديد على الحجم القديم:

$\text{النسبة} = \frac{V_{\text{جديد}}}{V_{\text{قديم}}}$

قم بتبسيط الصيغة باستخدام القيم المعطاة واحسب النسبة النهائية.

لنقم بحساب النسبة بين حجم الاسطوانة الجديدة والقديمة بناءً على الشروط المعطاة. للقيام بذلك، سنتبع الخطوات التالية ونستخدم بعض القوانين المتعلقة بحساب حجم الأسطوانة.

1. تعريف الأبعاد:
   فرض القطر القديم للاسطوانة يكون “d” والارتفاع يكون “h”. لذا، الأبعاد الجديدة هي قطر $3d$ وارتفاع $3h$.

2. حساب حجم الأسطوانة القديمة:
   نستخدم الصيغة التالية لحساب حجم الأسطوانة القديمة:
   $V_{\text{قديم}} = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 \times h$

3. حساب حجم الأسطوانة الجديدة:
   نستخدم الصيغة التالية لحساب حجم الأسطوانة الجديدة:
   $V_{\text{جديد}} = \pi \left(\frac{3d}{2}\right)^2 \times (3h)$

4. حساب النسبة:
   نقوم بقسمة حجم الأسطوانة الجديدة على حجم الأسطوانة القديمة:
   $\text{النسبة} = \frac{V_{\text{جديد}}}{V_{\text{قديم}}}$

5. تبسيط الصيغ:
   نستخدم قاعدة تبسيط الأسس لتبسيط الصيغة.

القوانين المستخدمة:

• حجم الأسطوانة:
  حجم الأسطوانة يحسب باستخدام الصيغة $V = \pi r^2 h$، حيث $r$ هو نصف القطر.

• ضرب الأبعاد:
  عند ضرب أحد الأبعاد في عدد، يجب ضربها في كل مكان آخر.

• تبسيط الأسس:
  لتبسيط التعابير التي تحتوي على أسس، يمكننا استخدام قوانين الأسس مثل قاعدة قوى الأس.

بعد حساب النسبة باستخدام هذه الخطوات والقوانين، سيتم الحصول على النسبة النهائية التي تمثل حجم الاسطوانة الجديدة مقسومًا على حجم الاسطوانة القديمة.