تكامل عدد المقسمات: مربعات ومكعبات (مسألة رياضيات)

المسألة:

إذا كان العدد الصحيح n يحتوي على 4 مقسمات إيجابية بما في ذلك 1 و n نفسه، فكم عدد المقسمات الإيجابية للعدد n^3؟

الحل:

لنقم بتحليل الجزء الأول من المسألة، حيث يقال إن n يحتوي على 4 مقسمات إيجابية. لنستعرض الحالات الممكنة:

1. 1 و n: هذين هما المقسمان المعطيان.

2. عاملين آخرين: لأن هناك 4 مقسمات، يجب أن يكون هناك عاملين آخرين. لذا، نحسب عوامل n.

   إذا كانت n عبارة عن عدد أولي، فإن عوامله هي 1 و n فقط، ولن تحقق الشرط.

   إذا كانت n عبارة عن عدد غير أولي، فإننا سنجد عوامل إضافية. على سبيل المثال، إذا كان n = 6، فإن عوامله هي 1، 2، 3، و 6.

الآن، لنحسب عدد المقسمات لـ n^3. إذا كان n عبارة عن عدد صحيح، فإن n^3 يكون مكعب العدد. ولذا، سنكون لدينا:

عدد المقسمات لـ n^3 = (عدد المقسمات لـ n) × 3

إذا كانت n عبارة عن عدد غير أولي، فإننا نحتفظ بالعوامل الإضافية ونضيف لها نفسها بمضاعفات 2 و 3 (لأن n^3 يمثل مكعب العدد):

عدد المقسمات لـ n^3 = (عدد المقسمات لـ n + عوامل إضافية) × 3

أخذًا بعين الاعتبار أن العوامل المضافة تشمل 1 و n والعوامل الإضافية لـ n، نقوم بحساب العدد النهائي للمقسمات.

بالطبع، دعونا نوسع على حل المسألة ونتحدث عن القوانين المستخدمة.

المسألة:

إذا كان العدد الصحيح $n$ يحتوي على 4 مقسمات إيجابية بما في ذلك 1 و $n$ نفسه، فكم عدد المقسمات الإيجابية للعدد $n^3$؟

الحل:

لفهم هذه المسألة بشكل أفضل، دعونا نتحدث أولاً عن العدد $n$ وكيف نحسب عدد مقسماته. يُعطى أن لدينا 4 مقسمات، وهي 1 و$n$ بالإضافة إلى عاملين آخرين. إذا كان $n$ عددًا أوليًا، فإنه يحتوي على مقسمين فقط (1 و $n$)، ولكن إذا كان $n$ عددًا غير أولي، فيجب أن يكون لدينا عوامل إضافية.

القوانين المستخدمة:

1. عدد المقسمات لـ $n^3$:
   لحساب عدد المقسمات للعدد $n^3$، نستخدم قاعدة تقول إنه إذا كان $n$ عددًا صحيحًا، فإن عدد المقسمات لـ $n^3$ يكون مضاعفًا لعدد المقسمات لـ $n$، أي:
   $عدد المقسمات لـ n^3 = (عدد المقسمات لـ n) \times 3$

2. العوامل الإضافية:
   إذا كان $n$ عددًا غير أولي، فإننا نضيف عوامل إضافية. هذه العوامل هي جميع العوامل الأخرى التي ليس لها تكرار في قائمة العوامل. لنفهم هذا أكثر، لنأخذ مثالًا:
   إذا كان $n = 6$، فعوامله هي 1، 2، 3، و 6. في حالة $n^3$، نضيف هذه العوامل ونضربها في 3، لأن $n^3$ يمثل مكعب العدد.
   $عدد المقسمات لـ n^3 = (عدد المقسمات لـ n + عوامل إضافية) \times 3$

الآن، يمكننا دمج هذه القوانين للوصول إلى إجابة نهائية حسابية لعدد المقسمات لـ $n^3$.