تقييم التعبير الرياضي: $(\sqrt[6]{4})^9$ (مسألة رياضيات)

تريد تقييم التعبير $(\sqrt[6]{4})^9$.

لحل هذه المسألة، نستخدم قاعدة التراجع في الأسس. نعلم أن قاعدة الأس المتشابهة تقول: $(a^m)^n = a^{mn}$.

باستخدام هذه القاعدة، يمكننا إعادة صياغة التعبير على النحو التالي:

$(\sqrt[6]{4})^9 = \sqrt[6]{4^9}$.

الآن، يمكننا حساب $4^9$ ومن ثم نأخذ الجذر السادس للناتج. لحساب $4^9$، نستخدم قاعدة الأس المتشابهة مرة أخرى، لذا:

$4^9 = (2^2)^9 = 2^{2 \times 9} = 2^{18}$.

الآن، بعد حساب $4^9$، نحن نملك القيمة $2^{18}$. الآن، نحن نريد الجذر السادس لهذه القيمة.

لحساب الجذر السادس، نستخدم خاصية أن الجذر السادس هو الأس 1/6. إذاً:

$\sqrt[6]{2^{18}} = (2^{18})^{1/6} = 2^{18 \times \frac{1}{6}} = 2^3$.

وبما أن $2^3 = 8$، فإن قيمة $(\sqrt[6]{4})^9$ هي 8.

المسألة تتعلق بتقييم التعبير $(\sqrt[6]{4})^9$.

لنحل هذه المسألة، نحتاج إلى استخدام عدة قوانين حسابية:

1. قاعدة الأس المتشابهة: تقول أنه عندما يكون نفس الأس على أساس آخر، يمكن ضرب الأسس معًا. على سبيل المثال: $(a^m)^n = a^{mn}$.

2. قاعدة الأس والجذر: تقول أن جذر العدد $a$ بالقوة $n$ يعادل $a$ مرفوعًا إلى القوة $1/n$. على سبيل المثال: $\sqrt[n]{a^n} = a^{1/n}$.

باستخدام هذه القوانين، يمكننا حل المسألة كالتالي:

أولاً، نقوم بتطبيق قاعدة الأس المتشابهة لتبسيط $(\sqrt[6]{4})^9$:

$(\sqrt[6]{4})^9 = \sqrt[6]{4^9}$.

ثم، نستخدم قاعدة الأس المتشابهة مرة أخرى لحساب $4^9$:

$4^9 = (2^2)^9 = 2^{2 \times 9} = 2^{18}$.

الآن، نحتاج إلى حساب الجذر السادس للعدد $2^{18}$. نستخدم قاعدة الأس والجذر هنا:

$\sqrt[6]{2^{18}} = (2^{18})^{1/6} = 2^{18 \times \frac{1}{6}} = 2^3$.

وبالتالي، نحصل على $2^3 = 8$.

لذا، قيمة $(\sqrt[6]{4})^9$ هي 8. تم استخدام قوانين الأس والجذر والقوانين الجبرية الأساسية في هذا الحل.