تقليل استهلاك الطعام للحفاظ على التكلفة (مسألة رياضيات)

تم تقليل عدد الطلاب في السكن بنسبة 12%، وارتفعت أسعار الطعام بنسبة 20% عن العام السابق. إذا كان كل طالب يستهلك نفس كمية الطعام، فكم يجب تقليل استهلاك الطعام لكل طالب بحيث يظل إجمالي تكلفة الطعام كما هو في العام السابق؟

لنقم بحساب ذلك:

لنفترض أن عدد الطلاب الأصلي كان $N$، وسعر الطعام لكل طالب كان $P$، وبالتالي، إجمالي تكلفة الطعام السنوية كانت $N \times P$.

بعد تقليل عدد الطلاب بنسبة 12%، يصبح عدد الطلاب الجديد هو $0.88N$ (نظراً لأن 100% – 12% = 88%).

بعد زيادة سعر الطعام بنسبة 20%، يصبح السعر الجديد هو $1.20P$ (نظراً لأن 100% + 20% = 120%).

للحفاظ على إجمالي تكلفة الطعام كما هو في العام السابق، يجب أن نضرب عدد الطلاب الجديد في السعر الجديد:

$0.88N \times 1.20P = N \times P$

الآن، نحسب كم يجب أن يكون سعر الطعام الجديد لكل طالب:

$1.20P = \frac{N}{0.88N} \times P$

نقوم بالتبسيط:

$1.20 = \frac{1}{0.88}$

$1.20 \approx 1.3636$

$P \approx \frac{1}{1.3636} \times P$

$P \approx 0.7335P$

بالتالي، يجب تقليل استهلاك الطعام لكل طالب بنسبة تقريبية تبلغ 26.65% (نظراً لأن 1 – 0.7335 = 0.2665) للحفاظ على إجمالي تكلفة الطعام كما هو في العام السابق.

في حل هذه المسألة، قمنا بتحديد المتغيرات الرئيسية واستخدمنا مبدأ الحفاظ على إجمالي التكلفة. الآن سنقدم تفاصيل أكثر ونوضح الخطوات التي اتخذناها للوصول إلى الحل، بالإضافة إلى القوانين التي تمثلت في العملية.

المتغيرات:

• $N$: عدد الطلاب الأصلي.
• $P$: سعر الطعام لكل طالب.

الأمور التي تم استخدامها:

1. تقليل عدد الطلاب: استخدمنا قاعدة النسبة لتقليل عدد الطلاب بنسبة 12%. نقوم بحساب العدد الجديد باستخدام النسبة المعكوسة للنسبة المعطاة.

$\text{عدد الطلاب الجديد} = (1 – \text{نسبة الانخفاض}) \times \text{عدد الطلاب الأصلي}$

2. زيادة سعر الطعام: استخدمنا قاعدة النسبة لزيادة سعر الطعام بنسبة 20%. نقوم بحساب السعر الجديد بإضافة النسبة المعطاة إلى الوحدة.

$\text{سعر الطعام الجديد} = (1 + \text{نسبة الزيادة}) \times \text{سعر الطعام الأصلي}$

3. مبدأ الحفاظ على التكلفة الإجمالية: وفقًا لهذا المبدأ، إذا كنا نريد الحفاظ على إجمالي التكلفة، فيجب أن يكون حاصل ضرب العدد الجديد من الطلاب في السعر الجديد يساوي حاصل ضرب العدد الأصلي من الطلاب في السعر الأصلي.

$\text{عدد الطلاب الجديد} \times \text{سعر الطعام الجديد} = \text{عدد الطلاب الأصلي} \times \text{سعر الطعام الأصلي}$

الخطوات:

1. حساب العدد الجديد من الطلاب بعد التقليل.
2. حساب السعر الجديد للطعام بعد الزيادة.
3. وضع المعادلة الناتجة عن مبدأ الحفاظ على التكلفة الإجمالية.
4. حساب النسبة المئوية لتقليل استهلاك الطعام للحفاظ على التكلفة.

القوانين المستخدمة:

• قاعدة النسبة: استخدمناها لتقليل وزيادة الكميات بنسب محددة.
• مبدأ الحفاظ على التكلفة الإجمالية: استخدمناه لضمان أن الناتج الإجمالي للعدد المقلل من الطلاب وسعر الطعام الزيادة يبقى كما هو في العام السابق.

هذه العمليات تعكس الطريقة التحليلية والمنطقية في حل مسائل الرياضيات والاقتصاد، وتظهر كيف يمكن استخدام القوانين الرياضية لفهم وحل المشكلات في الواقع.