تقسيم مجموعة الأصدقاء في لعبة تنس زوجية: حل المشكلة

يود مجموعة من 8 أصدقاء اللعب بكرة المضرب الزوجية. كم هو عدد الطرق المختلفة التي يمكن بها تقسيم المجموعة إلى 4 فرق، كل فريق يتألف من شخصين؟

لحل هذه المسألة، يمكننا استخدام النموذج التالي:

$C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

حيث $n$ هو عدد العناصر الكلي، و $r$ هو عدد العناصر التي نريد اختيارها. في هذه الحالة، $n = 8$ (عدد الأصدقاء) و $r = 2$ (عدد الأشخاص في كل فريق).

إذاً، عدد الطرق التي يمكن بها تقسيم المجموعة إلى 4 فرق هو:

$C(8, 2) \times C(6, 2) \times C(4, 2) \times C(2, 2)$

حاسبوا القيم:

$C(8, 2) = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2! \times 6!} = 28$

$C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2! \times 4!} = 15$

$C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \times 2!} = 6$

$C(2, 2) = \frac{2!}{2!(2-2)!} = \frac{2!}{2! \times 0!} = 1$

ثم قوموا بضرب هذه القيم معًا:

$28 \times 15 \times 6 \times 1 = 2520$

إذاً، هناك 2520 طريقة مختلفة لتقسيم المجموعة إلى 4 فرق، كل فريق يتألف من شخصين.

لحل هذه المسألة، نستخدم مفهوم الاختيارات المتسلسلة وقاعدة الجمع. في هذا السياق، يمكننا تحليل العملية إلى عدة خطوات للوصول إلى الحل النهائي.

الخطوة الأولى: اختيار الفريق الأول (2 أشخاص من بين 8)

نبدأ باختيار الفريق الأول، وهو اختيار 2 أشخاص من بين 8. وعدد الطرق لفعل ذلك يمثله الرمز الثنائي $C(8,2)$ الذي يعبر عن عدد الطرق لاختيار فريق من 8 أشخاص يتكون من 2 أفراد.

$C(8, 2) = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2! \times 6!} = 28$

الخطوة الثانية: اختيار الفريق الثاني (2 أشخاص من بين 6)

بعد اختيار الفريق الأول، يتبقى لدينا 6 أشخاص. نريد الآن اختيار الفريق الثاني، وهو اختيار 2 أشخاص من بين هؤلاء. يمكننا استخدام $C(6, 2)$ لحساب ذلك.

$C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2! \times 4!} = 15$

الخطوة الثالثة: اختيار الفريق الثالث (2 أشخاص من بين 4)

بعد اختيار الفريق الثاني، يبقى لدينا 4 أشخاص، ونريد الآن اختيار الفريق الثالث. عدد الطرق لفعل ذلك يمثله $C(4, 2)$.

$C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \times 2!} = 6$

الخطوة الرابعة: اختيار الفريق الرابع (2 أشخاص من بين 2)

بعد اختيار الفريق الثالث، يبقى لدينا 2 أشخاص، ونريد الآن اختيار الفريق الرابع. عدد الطرق لفعل ذلك يمثله $C(2, 2)$.

$C(2, 2) = \frac{2!}{2!(2-2)!} = \frac{2!}{2! \times 0!} = 1$

الجمع النهائي: ضرب النتائج معًا

الآن نضرب جميع هذه النتائج معًا للحصول على الناتج النهائي:

$28 \times 15 \times 6 \times 1 = 2520$

إذاً، هناك 2520 طريقة مختلفة لتقسيم المجموعة إلى 4 فرق، كل فريق يتألف من شخصين.