تقدير عدد الأسماك في بحيرة: حلاقة إحصائية مبنية على العلامات (مسألة رياضيات)

تفضلوا بالمسألة المعدة:

في دراستها لعدد الأسماك في بحيرة ما، قررت عالمة أحياء حساب العدد الإجمالي للأسماك في البحيرة. في الأول من مايو، قامت بصيد عينة عشوائية من الأسماك، قامت بوضع علامات على عدد منها، ثم أعادتها إلى البحيرة. في الأول من سبتمبر، قامت بصيد عينة جديدة تحتوي على 70 سمكة، واكتشفت أن 3 منها كانت قد حملت العلامات.

لحساب عدد الأسماك في البحيرة في الأول من مايو، افترضت العالمة أن 25% من هذه الأسماك لم تعد في البحيرة في الأول من سبتمبر بسبب الوفاة والهجرة، وأن 40% من الأسماك لم تكن في البحيرة في الأول من مايو بسبب الولادة والهجرة. كما افترضت أن عدد الأسماك غير الموسومة والموسومة في عينة سبتمبر هي ممثلة للسكان الكلي.

الآن، ما هو العدد الذي حسبته العالمة لعدد الأسماك في البحيرة في الأول من مايو؟

إذا كنا نعلم أن الإجابة على السؤال السابق هي 840، ما هي قيمة المتغير غير المعروف X؟

الآن سنقوم بحساب الإجابة:

للبداية، لنقم بحساب العدد الإجمالي للأسماك في سبتمبر. إذا كان عدد العينة المحملة بالعلامات هي 3 وتمثل 25% من السكان الكلي، فإن السكان الكلي يمكن حسابها بقسمة 3 على 0.25، مما يعطينا 12.

الآن، لحساب عدد الأسماك في مايو، نقوم بجمع هذا العدد مع العدد الإجمالي الذي حسبته العالمة للأسماك في مايو والذي يعادل 840 وذلك بجمع 12 و 840، مما يعطينا 852.

للوصول إلى قيمة المتغير X، نقوم بطرح العدد الإجمالي في مايو من هذا الإجمال الذي حسبناه للبحيرة في سبتمبر. إذا كان 852 يمثل العدد الكلي في سبتمبر، ونعلم أن 840 هو العدد الكلي في مايو، فإن فارق العددين يمثل قيمة X، أي 852 – 840 = 12.

لذا، قيمة المتغير X هي 12.

لحل هذه المسألة، نحن بحاجة إلى استخدام بعض القوانين والمفاهيم الإحصائية. القوانين والمفاهيم المستخدمة هي:

1. قاعدة النسبة:
   نستخدم قاعدة النسبة لحساب عدد الأسماك الإجمالي في سبتمبر بناءً على العينة المحملة بالعلامات.

   $\text{عدد الأسماك الإجمالي في سبتمبر} = \frac{\text{عدد العينة المحملة بالعلامات}}{\text{نسبة العينة المحملة بالعلامات}}$

   $\text{عدد الأسماك الإجمالي في سبتمبر} = \frac{3}{0.25} = 12$

2. جمع الأعداد:
   نستخدم جمع الأعداد لحساب العدد الإجمالي للأسماك في مايو وسبتمبر.

   $\text{عدد الأسماك في مايو} + \text{عدد الأسماك في سبتمبر} = \text{الإجمال النهائي}$

   $X + 12 = 840$

   من هنا نحسب قيمة $X$ كالتالي:

   $X = 840 – 12 = 828$

3. نسب النمو والهجرة:
   نستخدم النسب لحساب الجزء الذي تغير فيه عدد الأسماك بين مايو وسبتمبر.

   $\text{الجزء الذي لم يتغير} = 1 – (\text{نسبة الوفاة والهجرة} + \text{نسبة الولادة والهجرة})$

   $\text{الجزء الذي لم يتغير} = 1 – (0.25 + 0.40) = 0.35$

   هذا الجزء يمثل نسبة الأسماك التي تظل ثابتة بين مايو وسبتمبر.

4. حساب عدد الأسماك في مايو:
   نستخدم الجزء الثابت لحساب عدد الأسماك في مايو.

   $\text{عدد الأسماك في مايو} = \frac{\text{الإجمال النهائي}}{\text{الجزء الثابت}}$

   $\text{عدد الأسماك في مايو} = \frac{840}{0.35} = 2400$

باختصار، الحل يتضمن استخدام قوانين النسب وجمع الأعداد وحساب النسب للوصول إلى العدد النهائي للأسماك في مايو. والآن، إليك تلخيص الحل:

1. حساب العدد الإجمالي للأسماك في سبتمبر باستخدام قاعدة النسبة.
2. جمع الأعداد للحصول على الإجمال النهائي.
3. حساب النسبة الثابتة للأسماك التي لم تتغير بين مايو وسبتمبر.
4. حساب العدد الإجمالي للأسماك في مايو باستخدام الجزء الثابت.

وبهذا نصل إلى الإجابة النهائية: عدد الأسماك في مايو هو 2400، وقيمة المتغير $X$ هي 828.