تقدير القيمة المتوقعة باستخدام الاحتمالات (مسألة رياضيات)

عند قرع الدرهم النحاسي والنصف درهم والدرهم والربع درهم في نفس الوقت، ما هو التقدير القيمي للقطع النقدية التي ستظهر وجوهها؟ قدم إجابتك بالسنت، مستديرة إلى أقرب عشرة من السنت.

حل المسألة:
لحساب التقدير القيمي للقطع النقدية التي ستظهر وجوهها، يمكننا استخدام الاحتمالات. هنا، لدينا 4 عملات مختلفة، لكل واحدة منها هناك احتمال 1/2 للظهور وجه أو خلف.

للدرهم النحاسي: 1/2
للنصف درهم: 1/2
للدرهم: 1/2
للربع درهم: 1/2

لحساب القيمة المتوقعة، نقوم بضرب قيمة كل عملة في احتمال ظهور وجهها ونجمع النتائج:

(1/2) * 1 cent (الدرهم النحاسي) + (1/2) * 5 cents (النصف درهم) + (1/2) * 10 cents (الدرهم) + (1/2) * 25 cents (الربع درهم)

= 0.5 + 2.5 + 5 + 12.5
= 20.5 cents

لذا، التقدير القيمي للقطع النقدية التي ستظهر وجوهها هو 20.5 سنت، ونقوم بتقريبها إلى أقرب عشرة سنت للحصول على الإجابة النهائية.

إجابة السؤال: 20.5 سنت

لنقم بحل هذه المسألة، سنستخدم مفهوم احتمال الحدوث وسنعتمد على قوانين الاحتمالات. للقطع النقدية الأربعة المتورطة – الدرهم النحاسي، النصف درهم، الدرهم، والربع درهم – لدينا اثنين من النتائج الممكنة لكل قطعة (ظهور وجهها أو خلفها)، وهو ما يمثل احتمال 1/2 لكل منها.

لنعبر عن ذلك بشكل رياضي، فإن احتمال حدوث حدث ما (P) يتم حسابه كالتالي:

$P(\text{الظهور}) = \frac{\text{عدد النتائج المرغوب فيها}}{\text{إجمالي عدد النتائج الممكنة}}$

نقوم بحساب القيمة المتوقعة (المتوسطة) بضرب قيمة كل قطعة في احتمال ظهور وجهها، ثم نجمع هذه القيم:

$\text{القيمة المتوقعة} = (\frac{1}{2} \times \text{قيمة الدرهم النحاسي}) + (\frac{1}{2} \times \text{قيمة النصف درهم}) + (\frac{1}{2} \times \text{قيمة الدرهم}) + (\frac{1}{2} \times \text{قيمة الربع درهم})$

ثم نحسب هذه القيمة:

$= (0.5 \times 1) + (0.5 \times 5) + (0.5 \times 10) + (0.5 \times 25)$

$= 0.5 + 2.5 + 5 + 12.5$

$= 20.5$

لذلك، القيمة المتوقعة للقطع النقدية التي ستظهر وجوهها هي 20.5 سنت.

قوانين الاحتمالات المستخدمة هي:

1. قاعدة المجموع: إذا كانت $A_1, A_2, …, A_n$ مجموعة من الأحداث المتناقضة، فإن احتمال حدوث أي منها هو مجموع الاحتمالات لكل منها.

2. قاعدة الضرب: إذا كانت $A$ و $B$ حدثين مستقلين، فإن احتمال حدوث كلاهما هو حاصل ضرب احتمال حدوث $A$ في احتمال حدوث $B$.

تم استخدام هذه القوانين لحساب الاحتمالات وتقدير القيمة المتوقعة في هذه المسألة.