تقاطع مستقيم بمحور الصفر: حل وتطبيق. (مسألة رياضيات)

المطلوب هو تحديد نقطة تقاطع محور الصفر (y-axis) مع المستقيم الذي يمر عبر نقطتي (1, 7) و (3, 11).

أولاً، نستخدم ميل المستقيم (slope) لحساب معدل التغيير بين النقطتين. يُمثل الميل معدل التغيير في القيمة الصفرية (y) بالنسبة للقيمة المستقلة (x) على المستقيم. يُمكن حساب الميل باستخدام الصيغة التالية:

$\text{ميل} = \frac{{\text{التغيير في القيمة الصفرية}}}{{\text{التغيير في القيمة المستقلة}}}$

حيث التغيير في القيمة الصفرية يُمثل الفارق بين قيم الـ y والتغيير في القيمة المستقلة يُمثل الفارق بين قيم الـ x.

بالتالي، نقوم بحساب الميل باستخدام النقطتين المعطاة:

$\text{ميل} = \frac{{11 – 7}}{{3 – 1}} = \frac{4}{2} = 2$

الآن بعد أن حصلنا على الميل، نحتاج إلى استخدام أحد النقاط المعطاة والميل لتحديد معادلة المستقيم باستخدام الصيغة العامة للخط:

$y – y_1 = m(x – x_1)$

حيث $(x_1, y_1)$ هي إحدى النقطتين على المستقيم، و $m$ هو الميل.

يمكننا استخدام النقطة (1, 7) لإيجاد المعادلة، فنحصل على:

$y – 7 = 2(x – 1)$

الآن، نريد أن نعرف قيمة $y$ عندما يكون $x$ مساوياً لصفر لأننا نريد أن نعرف نقطة التقاطع مع محور الصفر.

إذاً، عند $x = 0$، نحسب قيمة $y$ من المعادلة:

$y – 7 = 2(0 – 1)$
$y – 7 = 2(-1)$
$y – 7 = -2$
$y = -2 + 7$
$y = 5$

لذا، نقطة تقاطع المستقيم مع محور الصفر هي (0, 5).

لحل المسألة، نحتاج إلى استخدام مفهوم الميل (slope) ومعادلة خط (equation of a line)، بالإضافة إلى مفهوم تقاطع المستقيم مع محور الصفر (y-axis).

1. مفهوم الميل (Slope):
   الميل هو معدل التغيير في القيمة الصفرية (y) بالنسبة للقيمة المستقلة (x) على المستقيم. يُمثل الميل الانحدار أو الاتجاه العام للمستقيم.

   قانون الميل:
   $\text{ميل} = \frac{{\text{التغيير في القيمة الصفرية}}}{{\text{التغيير في القيمة المستقلة}}}$

2. معادلة المستقيم (Equation of a Line):
   معادلة المستقيم تُعبر عن العلاقة بين متغيرات الـ x والـ y على المستقيم. تتبع معادلة المستقيم شكل الخط وتتيح لنا حساب قيمة y عند أي قيمة x والعكس صحيح.

   معادلة المستقيم بشكل عام:
   $y – y_1 = m(x – x_1)$

3. تقاطع المستقيم مع محور الصفر (y-axis):
   لتحديد نقطة التقاطع مع محور الصفر، نعيد إعطاء قيمة x قيمة صفر، ثم نحسب قيمة y المقابلة لهذا النقطة.

حل المسألة:
أولاً، نستخدم ميل المستقيم لحساب الميل بين النقطتين المعطاة:
$\text{ميل} = \frac{{11 – 7}}{{3 – 1}} = \frac{4}{2} = 2$

ثانياً، نستخدم أحد النقاط لإيجاد معادلة المستقيم باستخدام معادلة المستقيم:
$y – 7 = 2(x – 1)$

ثالثاً، نحسب قيمة y عندما يكون x مساويًا لصفر (للحصول على نقطة التقاطع مع محور الصفر):
$y – 7 = 2(0 – 1)$
$y – 7 = 2(-1)$
$y – 7 = -2$
$y = -2 + 7$
$y = 5$

لذا، نقطة التقاطع مع محور الصفر هي (0, 5).

القوانين المستخدمة:

1. قانون الميل ومعادلة المستقيم.
2. تقاطع المستقيم مع محور الصفر.