تقاطع خط مستقيم مع المحور y (مسألة رياضيات)

نريد معرفة نقطة تقاطع خط يمر عبر نقطتين مع المحور y. النقطتان هما (2, 16) و (-8, -4).

للعثور على المعادلة الخطية التي تمر عبر هاتين النقطتين، يمكننا استخدام صيغة الميل:

$m = \frac{{y_2 – y_1}}{{x_2 – x_1}}$

ومن ثم استخدام أحد النقاط في المعادلة التالية للحصول على المعادلة الخطية بالكامل:

$y – y_1 = m(x – x_1)$

لنقم أولاً بحساب قيمة $m$:

$m = \frac{{-4 – 16}}{{-8 – 2}} = \frac{{-20}}{{-10}} = 2$

الآن لدينا الميل $m = 2$. لنقم بتحديد المعادلة الخطية باستخدام أحد النقاط، لنأخذ (2, 16) كنقطة:

$y – 16 = 2(x – 2)$

الآن لنحل للحصول على قيمة $y$ عندما $x = 0$ (وهو موقع تقاطع المحور y):

$y – 16 = 2(0 – 2)$
$y – 16 = 2(-2)$
$y – 16 = -4$
$y = -4 + 16$
$y = 12$

إذاً، يتقاطع الخط مع المحور y عند النقطة (0, 12).

لحل هذه المسألة، نستخدم العديد من القوانين والمفاهيم الرياضية، بما في ذلك مفهوم الميل والمعادلة الخطية.

1. الميل (Slope):
   الميل هو تغيّر قيمة $y$ بالنسبة لتغيّر في قيمة $x$ على الخط. يُمثل الميل بالحرف $m$، ويُحسب عادةً بواسطة العلاقة التالية:
   $m = \frac{{y_2 – y_1}}{{x_2 – x_1}}$

2. المعادلة الخطية (Linear Equation):
   تُمثل المعادلة الخطية العلاقة بين العمودين $x$ و$y$ على الخط. تأخذ هذه الصيغة شكلًا مثليًا:
   $y – y_1 = m(x – x_1)$
   حيث $m$ هو الميل و$(x_1, y_1)$ هي أحد النقاط التي يمر بها الخط.

الآن، سنطبق هذه القوانين على المسألة المعطاة:

أولاً، نستخدم مفهوم الميل لحساب قيمة $m$:
$m = \frac{{y_2 – y_1}}{{x_2 – x_1}}$

ثم نستخدم أحد النقاط لحساب المعادلة الخطية:
$y – y_1 = m(x – x_1)$

وأخيرًا، نستخدم المعادلة الناتجة لحساب قيمة $y$ عندما $x = 0$، وهذه القيمة هي نقطة التقاطع مع المحور $y$.

باستخدام هذه الخطوات، نجد أن الخط الذي يمر عبر النقطتين (2، 16) و (-8، -4) يتقاطع مع المحور $y$ عند النقطة (0، 12).