تفكيك المتعابين وحساب القيمة (مسألة رياضيات)

التعبير $x^2 + 13x + 30$ يمكن تفكيكه على شكل $(x + a)(x + b)$ والتعبير $x^2 + 5x – 50$ يمكن تفكيكه على شكل $(x + b)(x – c)$، حيث $a$، $b$، و $c$ هي أعداد صحيحة. نريد إيجاد قيمة $a + b + c$.

لنقم بتفكيك التعبير الأول $x^2 + 13x + 30$ باستخدام الطريقة المعتادة لتفكيك المتعابين. نحن بحاجة إلى إيجاد عاملين يعطيان مجموعهما 13 وضربهما 30. يمكننا أن نقسم عملية العزل إلى:

$(x + \underline{\quad})(x + \underline{\quad})$

نبحث عن عوامل لـ 30 التي تعطي 13 عندما يتم جمعها. بعد التفكير قليلاً، نجد أن 10 و 3 يمكن أن تفي بالشرط. لذا، يكون التفكيك على النحو التالي:

$(x + 10)(x + 3)$

الآن، لنقم بتفكيك التعبير الثاني $x^2 + 5x – 50$. نحن بحاجة إلى إيجاد عاملين يعطيان مجموعهما 5 وضربهما -50. يمكننا أن نقسم عملية العزل إلى:

$(x + \underline{\quad})(x – \underline{\quad})$

بعد التفكير، نجد أن 10 و -5 يمكن أن تفي بالشرط. لذا، يكون التفكيك على النحو التالي:

$(x + 10)(x – 5)$

الآن، نقارن التفكيكين لنجد قيم $a$، $b$، و $c$.

من التفكيك الأول، نرى أن $a = 10$ و $b = 3$.

من التفكيك الثاني، نرى أن $b = 10$ و $c = 5$.

الآن، يتضح لنا أن قيمة $a + b + c$ هي:
$a + b + c = 10 + 3 + 5 = 18$

إذاً، قيمة $a + b + c$ تساوي 18.

لحل هذه المسألة، سنستخدم المفهوم الأساسي لتفكيك المتعابين وتطبيق القوانين الجبرية الأساسية. هنا هي الخطوات والقوانين التي سنستخدمها:

1. تفكيك المتعابين: نحن بحاجة إلى تفكيك المتعابين للتعبيرين $x^2 + 13x + 30$ و $x^2 + 5x – 50$.

2. قوانين الجبر الأساسية: نستخدم قوانين الجبر الأساسية مثل قانون الضرب والجمع لتحليل التعابير وتقسيمها إلى عوامل.

الآن، دعونا نبدأ بحل المسألة بالتفصيل:

التفكيك الأول: $x^2 + 13x + 30$

نريد أن نجد عوامل $(x + a)(x + b)$ تعطينا التعبير $x^2 + 13x + 30$.

نحن بحاجة إلى اثنين من الأعداد التي تجمع لتعطي 13 وتضرب لتعطي 30. بعد التحليل، نجد أن 10 و 3 هما الأعداد المناسبة.

لذا، نكتب التعبير على النحو التالي:
$(x + 10)(x + 3)$

التفكيك الثاني: $x^2 + 5x – 50$

نريد أن نجد عوامل $(x + b)(x – c)$ تعطينا التعبير $x^2 + 5x – 50$.

نحن بحاجة إلى اثنين من الأعداد التي تجمع لتعطي 5 وتضرب لتعطي -50. بعد التحليل، نجد أن 10 و -5 هما الأعداد المناسبة.

لذا، نكتب التعبير على النحو التالي:
$(x + 10)(x – 5)$

تحديد القيم: $a$، $b$، و $c$

من التفكيك الأول، نرى أن $a = 10$ و $b = 3$.

من التفكيك الثاني، نرى أن $b = 10$ و $c = 5$.

حساب قيمة $a + b + c$

نجد قيمة $a + b + c$ بجمع القيم المحسوبة:
$a + b + c = 10 + 3 + 5 = 18$

الختام

لذا، قيمة $a + b + c$ تساوي 18.

هذا الحل يعتمد على القوانين الأساسية في الجبر مثل قوانين الضرب والجمع، والتفكيك الجبري للمتعابين. استخدمنا المفاهيم الجبرية الأساسية لتحليل التعابير وتفكيكها إلى عوامل قابلة للفهم والمقارنة.