تفحص متقدم لضربية معقدة رياضية (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
$\prod_{k=1}^{12} \prod_{j=1}^{10} (e^{2 \pi ji/11} – e^{2 \pi ki/13}).$

حل المسألة:
نتعامل في هذه المسألة مع حاصل ضرب عدة عوامل، حيث تظهر تكرارات للقوى العشرية والأعداد المركبة. للوصول إلى الحل، نبدأ بتحليل العامل الداخلي للمنتج ونستخدم بعض الخصائص الجذرية والتنسيق بشكل أفضل.

نبدأ بفهم العامل الداخلي:
$(e^{2 \pi ji/11} – e^{2 \pi ki/13}).$

نستخدم هنا خاصية الأساس المشترك للأعداد العقدية حيث نكتب $e^{i\theta}$ باستخدام الزاوية العامة: $\cos(\theta) + i \sin(\theta)$.

التعبير يصبح:
$\left( \cos\left(\frac{2\pi j}{11}\right) + i \sin\left(\frac{2\pi j}{11}\right) \right) – \left( \cos\left(\frac{2\pi k}{13}\right) + i \sin\left(\frac{2\pi k}{13}\right) \right).$

نقوم بتجميع الأجزاء الحقيقية والخيالية على حدة:
$\cos\left(\frac{2\pi j}{11}\right) – \cos\left(\frac{2\pi k}{13}\right) + i \left( \sin\left(\frac{2\pi j}{11}\right) – \sin\left(\frac{2\pi k}{13}\right) \right).$

الآن نستخدم تمثيل الجذور لجعل العبارة أكثر تنظيمًا. لنجعل الأمور أكثر وضوحًا، نقوم بتكامل محايد للطرح ونستعرض العبارة بالشكل الآتي:
$-2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\sin\left(\frac{\phi}{2}\right) \cdot e^{i\left(\frac{\theta+\phi}{2}\right)}.$

باستخدام هذا التمثيل، يمكننا إعادة كتابة المنتج الكلي بشكل أفضل. الآن نقوم بضرب جميع العوامل المتكررة ونستفيد من خصائص الأسس:
$\prod_{k=1}^{12} \prod_{j=1}^{10} -2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\sin\left(\frac{\phi}{2}\right) \cdot e^{i\left(\frac{\theta+\phi}{2}\right)}.$

يمكننا تجميع العوامل المتكررة والتعبير عنها بشكل أكثر تبسيطًا:
$(-2)^{120} \left( \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \right)^{120} \left( e^{i\left(\frac{\theta+\phi}{2}\right)} \right)^{120}.$

الآن نحصل على ناتج نهائي:
$(-2)^{120} \sin^{120}\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i60(\theta+\phi)}.$

هذا هو الناتج النهائي للمنتج الكلي.

لنقم بتفصيل حلاً أكثر للمسألة وذلك باستخدام القوانين المستخدمة في الحسابات الرياضية:

المسألة:
$\prod_{k=1}^{12} \prod_{j=1}^{10} (e^{2 \pi ji/11} – e^{2 \pi ki/13}).$

حيث نحتاج إلى حساب حاصل الضرب لمجموعة ضخمة من العوامل. نبدأ بفهم العامل الداخلي في المنتج:

$(e^{2 \pi ji/11} – e^{2 \pi ki/13}).$

نستخدم هنا القانون الأساسي للأعداد العقدية $e^{i\theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta)$ لتحويل التعبير إلى صيغة متناسقة:

$\cos\left(\frac{2\pi j}{11}\right) – \cos\left(\frac{2\pi k}{13}\right) + i \left( \sin\left(\frac{2\pi j}{11}\right) – \sin\left(\frac{2\pi k}{13}\right) \right).$

ثم نقوم بتحليل الأجزاء الحقيقية والخيالية للعبارة.

القوانين المستخدمة:

1. تمثيل الأعداد العقدية: استخدمنا تمثيل الأعداد العقدية باستخدام الزاوية العامة $e^{i\theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta)$ لتحويل الأعداد العقدية إلى صيغة متناسقة.
2. خاصية الأساس المشترك للجيب والكوسين: استخدمنا هذه الخاصية لتجميع الجزء الحقيقي للتعبير.
3. تمثيل الجذور باستخدام الأعداد العقدية: قمنا بتمثيل الجذور باستخدام الأعداد العقدية لجعل التعبير أكثر تنظيمًا.

بعد ذلك، قمنا بتجميع الأجزاء المشتركة واستخدمنا خاصية الجمع للأجزاء المتشابهة. بعد التبسيط، حصلنا على تمثيل نهائي للعامل الداخلي.

ثم قمنا بتكرار هذه العملية للعوامل الأخرى في المنتج الكلي. وأخذنا في اعتبارنا الخصائص الجذرية والتنظيم الجيد لتبسيط التعبير.

الناتج النهائي:
$(-2)^{120} \sin^{120}\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i60(\theta+\phi)}.$

هذا الحل يستند إلى فهم عميق لتمثيل الأعداد العقدية واستخدام الخصائص الجذرية والجيوبية لتبسيط التعابير.