تفاصيل حل مسألة ملء الخزان في 30 دقيقة

فتح صمام ألف يملأ الخزان في 6 دقائق، بينما يفرغ صمام بي من الماء في 24 دقيقة. عندما يتم فتح الصمامين معًا، يجب إغلاق صمام بي بعد فترة من الوقت لضمان أن يتم ملء الخزان في 30 دقيقة. كم يجب أن يتم إغلاق صمام بي بعد فترة محددة؟

لنحسب معدل عملية ملء الخزان عند فتح الصمامين معًا. صمام ألف يعبأ الخزان بمعدل 1/6 من الخزان في الدقيقة، بينما يفرغ صمام بي الخزان بمعدل 1/24 من الخزان في الدقيقة. عند فتح الصمامين معًا، يكون المعدل الصافي لملء الخزان هو (1/6 – 1/24) من الخزان في الدقيقة.

الآن، نقوم بحساب المعدل الصافي:
$\frac{1}{6} – \frac{1}{24} = \frac{4}{24} – \frac{1}{24} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$

لذا، المعدل الصافي لملء الخزان هو 1/8 من الخزان في الدقيقة. ومن ثم، يستغرق ملء الخزان بالكامل 8 دقائق (1 / (1/8) = 8).

لكننا نريد ملء الخزان في 30 دقيقة، لذا يجب إغلاق صمام بي بعد 30 – 8 = 22 دقيقة.

إذاً، يجب إغلاق صمام بي بعد 22 دقيقة من فتح الصمامين معًا لضمان ملء الخزان في 30 دقيقة.

لحل هذه المسألة، سنستخدم قانون العمل المشترك بين الأنابيب. هذا القانون ينص على أن عملية ملء أو تفريغ الخزان عند استخدام أنبوبين أو أكثر يمكن حسابها عن طريق جمع أو طرح معدلات العمل لكل أنبوب.

لنمثل العمل بمعدلاته، حيث $W = \frac{الحجم}{الزمن}$، ونستخدم الرموز التالية:

• $W_A$ لعملية ملء الأنبوب A
• $W_B$ لعملية تفريغ الأنبوب B

نعلم أن $W_A = \frac{1}{6}$ لأن الأنبوب A يملأ الخزان في 6 دقائق، وأن $W_B = -\frac{1}{24}$ لأن الأنبوب B يفرغ الخزان في 24 دقيقة. يكون العمل الصافي $W_{\text{صافي}} = W_A + W_B$.

$W_{\text{صافي}} = \frac{1}{6} – \frac{1}{24} = \frac{4}{24} – \frac{1}{24} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$

بمجرد حساب العمل الصافي، يمكننا استخدام قانون العمل لحساب الزمن اللازم لملء الخزان بالكامل. القانون يأخذ الشكل:

$W_{\text{صافي}} = \frac{الحجم}{الزمن_{\text{كلي}}}$

ونقوم بترتيبه لحساب الزمن الكلي:

$الزمن_{\text{كلي}} = \frac{الحجم}{W_{\text{صافي}}}$

باستخدام القيم المعطاة في المسألة، حيث إن حجم الخزان يمثل وحدة واحدة، يكون $الزمن_{\text{كلي}} = \frac{1}{\frac{1}{8}} = 8$ دقائق.

لكننا نريد ملء الخزان في 30 دقيقة، لذا يجب إيجاد الزمن الذي يستغرقه ملء الخزان للفترة المطلوبة. نطرح الزمن الكلي من الزمن المطلوب:

$الزمن_{\text{إغلاق B}} = الزمن_{\text{كلي}} – الزمن_{\text{مطلوب}} = 8 – 30 = -22$

نحصل على -22 دقيقة، وهذا يشير إلى أنه يجب إغلاق صمام B بعد 22 دقيقة من بدء عملية ملء الخزان لضمان أن يتم ملء الخزان في 30 دقيقة.