تغيير الأبعاد: حساب مساحة المستطيل بعد التعديل (مسألة رياضيات)

مسألة الرياضيات هي: إذا كانت مساحة مستطيل معين تساوي 432 سنتيمتر مربع، ما ستكون المساحة الجديدة إذا تم تقليل طول المستطيل بنسبة 10% وزيادة عرض المستطيل بنسبة 10%؟ قم بتقريب إجابتك إلى أقرب عدد صحيح.

الحل:
لنحسب الأبعاد الجديدة للمستطيل بناءً على التغيير في الطول والعرض. إذا كان طول المستطيل الأصلي يساوي $L$ وعرضه يساوي $W$، فإن الطول الجديد سيكون $0.9L$ بعد تقليله بنسبة 10%، والعرض الجديد سيكون $1.1W$ بعد زيادته بنسبة 10%.

المساحة الجديدة $A_{\text{جديدة}}$ تحسب بضرب الطول الجديد في العرض الجديد:
$A_{\text{جديدة}} = 0.9L \times 1.1W$

ومن المعروف أن المساحة الأصلية تساوي 432، لذلك يمكننا كتابة المعادلة التالية:
$432 = LW$

الآن، نقوم بحل المعادلة للعثور على قيمة واحدة من الأبعاد (سواء الطول أو العرض). بمجرد العثور على قيمة واحدة، يمكننا استخدامها لحساب الأبعاد الجديدة وبالتالي المساحة الجديدة.

$L = \frac{432}{W}$

الآن نعوض قيمة $L$ في المعادلة $A_{\text{جديدة}} = 0.9L \times 1.1W$ لحساب المساحة الجديدة:
$A_{\text{جديدة}} = 0.9 \left(\frac{432}{W}\right) \times 1.1W$

نقوم بتبسيط المعادلة وحساب القيمة النهائية للمساحة الجديدة. بعد الحسابات، يمكننا تقريب الإجابة إلى أقرب عدد صحيح.

بالتأكيد، سنقوم بتوضيح الحل بشكل أكبر وذلك باستخدام القوانين الرياضية المناسبة.

لنبدأ بفهم القانون المتعلق بحساب مساحة المستطيل، الذي يعتمد على العلاقة التالية: مساحة المستطيل ($A$) يمكن حسابها بضرب طول المستطيل ($L$) في عرضه ($W$):

$A = L \times W$

المسألة تقول إن مساحة المستطيل الأصلي تساوي 432 سنتيمتر مربع، لذا نحن نعلم أن:

$432 = L \times W$

الآن، حينما نقوم بتقليل الطول ($L$) بنسبة 10%، يعني ذلك أننا سنقوم بضرب الطول في $0.9$، لأن $100\% – 10\% = 90\%$. وعند زيادة العرض ($W$) بنسبة 10%، يعني ذلك أننا سنقوم بضرب العرض في $1.1$، لأن $100\% + 10\% = 110\%$.

لذا، الأبعاد الجديدة للمستطيل تكون:

$L_{\text{جديد}} = 0.9 \times L$

$W_{\text{جديد}} = 1.1 \times W$

الآن، نقوم بحساب المساحة الجديدة ($A_{\text{جديدة}}$) باستخدام الأبعاد الجديدة:

$A_{\text{جديدة}} = L_{\text{جديد}} \times W_{\text{جديد}}$

$A_{\text{جديدة}} = (0.9 \times L) \times (1.1 \times W)$

نقوم بتوسيع العبارة وتبسيطها باستخدام الضرب:

$A_{\text{جديدة}} = 0.99 \times (L \times W)$

ونعلم أن $L \times W = 432$، لذا:

$A_{\text{جديدة}} = 0.99 \times 432$

الآن، نحسب القيمة النهائية:

$A_{\text{جديدة}} \approx 427.68$

بتقريب الإجابة إلى أقرب عدد صحيح، نحصل على:

$A_{\text{جديدة}} \approx 428$

لذا، المساحة الجديدة للمستطيل بعد تغيير الأبعاد هي 428 سنتيمتر مربع.