تغيير أبعاد الأسطوانة: زيادة حجم بنسبة 18x (مسألة رياضيات)

إذا كانت نصف قطر اسطوانة يتم تضاعفها ثلاث مرات ويتم ضاعف ارتفاعها، ما هو حجم الأسطوانة الجديد مقسوماً على حجم الأسطوانة القديمة؟

الحل:

لحساب حجم الأسطوانة، يتم استخدام الصيغة التالية:

$V = \pi r^2 h$

حيث $V$ هو حجم الأسطوانة، $\pi$ هو العدد باي (تقريبا 3.14159)، $r$ هو نصف قطر الأسطوانة، و $h$ هو ارتفاع الأسطوانة.

لنحسب النسبة بين حجم الأسطوانة الجديدة والقديمة، يمكننا استخدام النسبة التالية:

$\text{نسبة الحجم} = \frac{V_{\text{جديد}}}{V_{\text{قديم}}}$

لكن أولاً، لنجد حجم الأسطوانة الجديدة بعد التغييرات:

1. نصف قطر الأسطوانة الجديدة $r_{\text{جديد}}$ هو 3 مرات نصف قطر الأسطوانة القديمة، لذا $r_{\text{جديد}} = 3r_{\text{قديم}}$.
2. ارتفاع الأسطوانة الجديدة $h_{\text{جديد}}$ هو ضعف ارتفاع الأسطوانة القديمة، لذا $h_{\text{جديد}} = 2h_{\text{قديم}}$.

الآن، يمكننا حساب حجم الأسطوانة الجديدة $V_{\text{جديد}}$:

$V_{\text{جديد}} = \pi (3r_{\text{قديم}})^2 \times 2h_{\text{قديم}}$

الآن، يمكننا حساب النسبة بين حجم الأسطوانة الجديدة والقديمة:

$\text{نسبة الحجم} = \frac{V_{\text{جديد}}}{V_{\text{قديم}}}$

أخيرًا، يمكننا حساب القيم الرقمية لهذه النسبة باستخدام القيم المعطاة لنا.

بالطبع، دعونا نستكمل حلا المسألة ونتعمق في التفاصيل. لحساب حجم الأسطوانة، نستخدم الصيغة التالية:

$V = \pi r^2 h$

حيث $V$ هو حجم الأسطوانة، $\pi$ هو العدد باي (تقريبا 3.14159)، $r$ هو نصف قطر الأسطوانة، و $h$ هو ارتفاع الأسطوانة.

لنقم بحل المسألة:

1. حساب القيم بعد التغييرات:

   • نصف قطر الأسطوانة الجديدة $r_{\text{جديد}} = 3r_{\text{قديم}}$
   • ارتفاع الأسطوانة الجديدة $h_{\text{جديد}} = 2h_{\text{قديم}}$

2. حساب حجم الأسطوانة الجديدة:
   $V_{\text{جديد}} = \pi (3r_{\text{قديم}})^2 \times 2h_{\text{قديم}}$

3. حساب حجم الأسطوانة القديمة:
   $V_{\text{قديم}} = \pi r_{\text{قديم}}^2 \times h_{\text{قديم}}$

4. حساب نسبة الحجم:
   $\text{نسبة الحجم} = \frac{V_{\text{جديد}}}{V_{\text{قديم}}}$

5. تعويض القيم وحساب النسبة:
   $\text{نسبة الحجم} = \frac{\pi (3r_{\text{قديم}})^2 \times 2h_{\text{قديم}}}{\pi r_{\text{قديم}}^2 \times h_{\text{قديم}}}$

6. التبسيط وإلغاء العوامل المشتركة:
   $\text{نسبة الحجم} = \frac{3^2 \times 2}{1}$

7. حساب القيمة النهائية:
   $\text{نسبة الحجم} = \frac{18}{1} = 18$

لقد استخدمنا في هذا الحل القوانين الرياضية الأساسية مثل قانون حساب حجم الأسطوانة والضرب في حالة تغيير الأبعاد. تم أيضاً استخدام قوانين الجبر لتبسيط العبارات والوصول إلى النسبة النهائية.