مسائل رياضيات

تطبيق قاعدة تغيير الصفوف في حساب المصفوفات (مسألة رياضيات)

اخر تحديث 20/01/2024
0

إذا كانت قيمة المصفوفة

∣abcd∣\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}

تساوي 4، فإننا نريد حساب قيمة المصفوفة

مواضيع ذات صلة
∣a7a+3bc7c+3d∣.\begin{vmatrix} a & 7a + 3b \\ c & 7c +3d \end{vmatrix}.

للقيام بذلك، سنستخدم خاصية تغيير صف واحد بمضاعف آخر. يمكننا ضرب الصف الثاني بمعامل 7 وجمعه بالصف الأول، بحيث يكون لدينا:

∣abcd∣→R2→7R2+3R1∣a7a+3bc7c+3d∣.\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} \xrightarrow[]{R_2 \to 7R_2 + 3R_1} \begin{vmatrix} a & 7a + 3b \\ c & 7c +3d \end{vmatrix}.

سنقوم الآن بتنفيذ هذا العمل:

∣abcd∣→R2→7R2+3R1∣a7a+3bc7c+3d∣=∣ab7c+3d7(7c+3d)+3(7a+3b)∣.\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} \xrightarrow[]{R_2 \to 7R_2 + 3R_1} \begin{vmatrix} a & 7a + 3b \\ c & 7c +3d \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b \\ 7c + 3d & 7(7c + 3d) + 3(7a + 3b) \end{vmatrix}.

الآن، سنحسب قيمة المصفوفة الناتجة بطرح حاصل ضرب العناصر القطرية:

∣a7a+3b7c+3d7(7c+3d)+3(7a+3b)∣=a(7(7c+3d)+3(7a+3b))−(7a+3b)(7c+3d).\begin{vmatrix} a & 7a + 3b \\ 7c + 3d & 7(7c + 3d) + 3(7a + 3b) \end{vmatrix} = a(7(7c + 3d) + 3(7a + 3b)) – (7a + 3b)(7c + 3d).

الآن سنقوم بتبسيط هذا الشكل:

a(7(7c+3d)+3(7a+3b))−(7a+3b)(7c+3d)=7a(7c+3d)+3a(7a+3b)−(49ac+21ad+21bc+9bd)=49ac+21ad+21a2+21bc+9ab−49ac−21ad−21bc−9bd=21a2+9ab−9bd.\begin{align*} & a(7(7c + 3d) + 3(7a + 3b)) – (7a + 3b)(7c + 3d) \\ & = 7a(7c + 3d) + 3a(7a + 3b) – (49ac + 21ad + 21bc + 9bd) \\ & = 49ac + 21ad + 21a^2 + 21bc + 9ab – 49ac – 21ad – 21bc – 9bd \\ & = 21a^2 + 9ab – 9bd. \end{align*}

إذاً، قيمة المصفوفة

∣a7a+3bc7c+3d∣\begin{vmatrix} a & 7a + 3b \\ c & 7c +3d \end{vmatrix}

هي

21a2+9ab−9bd.21a^2 + 9ab – 9bd.

المزيد من المعلومات

لحل هذه المسألة، استخدمنا قاعدة تغيير الصفوف في المصفوفات. قاعدة تغيير الصفوف تقول إنه يمكننا تغيير أحد الصفوف في المصفوفة بمضاعف آخر، دون أن تتغير قيمة المصفوفة. القاعدة تقول أنه إذا قمنا بمضاعفة صف من المصفوفة بعدد وجمعه بصف آخر، فإن قيمة المصفوفة لا تتأثر.

القوانين المستخدمة في الحل:

  1. تغيير الصفوف: في هذه المسألة، استخدمنا قاعدة تغيير الصفوف للقيام بعمليات على الصفوف للوصول إلى المصفوفة المراد حساب قيمتها. في هذه الحالة، قمنا بضرب الصف الثاني في 7 وجمعه بالصف الأول.

  2. حساب قيمة المصفوفة: بعد تغيير الصفوف، استخدمنا قاعدة حساب قيمة المصفوفة عن طريق طرح حاصل ضرب العناصر القطرية. هذه العملية تعتبر أساسية في حساب قيمة المصفوفة بحيث نطرح الحاصل ضرب العناصر القطرية الرئيسية من الحاصل ضرب العناصر القطرية الفرعية.

  3. التبسيط: بعد العمليات السابقة، قمنا بتبسيط التعبير النهائي للحصول على الناتج النهائي. في هذه الحالة، كان التبسيط يشمل ضرب وجمع المتغيرات والثوابت في التعبير.

باختصار، قمنا بتطبيق هذه القوانين لحساب قيمة المصفوفة المعطاة وتقديم الحل بشكل مفصل وتفصيلي، والناتج النهائي هو
21a2+9ab−9bd.21a^2 + 9ab – 9bd.

اخر تحديث 20/01/2024
0