تضاعف الورق: رحلة السماكة الهندسية

إذا تم طي ورقة سميكة 1 ملم بحيث يتم تقسيم المساحة إلى النصف في كل طية، فما هو سمك الكومة بعد 50 طية؟

لنقم بتحليل هذه المسألة بشكل تفصيلي. في البداية، سنحسب السماكة بعد كل طية.

بعد الطية الأولى، يصبح سمك الورقة مزدوجًا، أي 1 ملم * 2 = 2 ملم.

بعد الطية الثانية، يصبح سمك الورقة بعد الطية الثانية هو 2 ملم * 2 = 4 ملم.

وهكذا يستمر الأمر، حيث يتضاعف السمك مع كل طية. لذلك، بعد الطية الثالثة، يكون السمك 4 ملم * 2 = 8 ملم، وهكذا نستمر في تكرار هذه العملية.

بشكل عام، بعد الطية الـ n، يكون سمك الورقة هو 2^(n-1) ملم.

الآن، بما أننا نريد حساب السمك بعد 50 طية، نستخدم الصيغة التالية:

سمك الورقة بعد 50 طية = 2^(50-1) ملم

سمك الورقة بعد 50 طية = 2^49 ملم

هذا يمكن حسابه بشكل دقيق باستخدام الآلة الحاسبة أو البرمجة، والناتج سيكون قيمة كبيرة جدًا.

بالطبع، دعونا نقوم بفحص هذه المسألة بشكل أكثر تفصيلًا باستخدام مفهوم الهندسة التناسبية والقوانين الرياضية المتعلقة بالطي والتضاعف.

لنبدأ بوصف كيفية تغير السماكة مع كل طية باستخدام القوانين التي تحكم هذا التضاعف. إذا كانت الورقة الأصلية سمكها 1 ملم، فإنه بعد الطية الأولى، يصبح السمك مضاعفًا له، أي 1 * 2 = 2 ملم. بعد الطية الثانية، يصبح السمك 2 * 2 = 4 ملم، وهكذا نستمر.

نستخدم القاعدة العامة للتضاعف هنا، حيث سمك الورقة بعد الطية الـ n هو 2^(n-1) ملم. هذا يتماشى مع فكرة أننا نضاعف السماكة مع كل طية.

الآن، لحساب السماكة بعد 50 طية، نستخدم القاعدة التي ذكرناها:

سمك الورقة بعد 50 طية = 2^(50-1) ملم

سمك الورقة بعد 50 طية = 2^49 ملم

هذه العملية تعتمد على قاعدة تضاعف ثابتة، وهي قاعدة أسية تظهر في الحسابات المرتبطة بالنمو الهندسي.

لتحسين التوضيح، يمكن ربط هذا بقانون الأسس، حيث أن العلاقة بين عدد الطيات (n) والسماكة هي عبارة عن قاعدة أسية.