تضاعف العلامات: تأثيره على المعدل (مسألة رياضيات)

معدل علامات 25 طالبًا في صف واحد هو 70. إذا تم ضعف علامات كل طالب، فما هو المعدل الجديد؟

الحل:

عندما نضرب علامات كل طالب في 2، فإننا نضاعف القيمة الرقمية لكل علامة. لذلك، يمكننا أن نعبر عن العلامات الجديدة بالتالي:

علامة الطالب الجديدة = 2 × علامة الطالب القديمة

المعدل الجديد يُحسب بجمع العلامات الجديدة وقسمتها على عدد الطلاب الجدد. في هذه الحالة:

المعدل الجديد = (علامة الطالب الجديدة1 + علامة الطالب الجديدة2 + … + علامة الطالب الجديدة25) / 25

وبما أن كل علامة جديدة هي ضعف العلامة القديمة، يمكننا استخدام ذلك في الحساب:

المعدل الجديد = (2 × علامة الطالب القديمة1 + 2 × علامة الطالب القديمة2 + … + 2 × علامة الطالب القديمة25) / 25

نقوم بتبسيط العبارة:

المعدل الجديد = (2 × (علامة الطالب القديمة1 + علامة الطالب القديمة2 + … + علامة الطالب القديمة25)) / 25

نستخرج العامل المشترك 2:

المعدل الجديد = 2 × (علامة الطالب القديمة1 + علامة الطالب القديمة2 + … + علامة الطالب القديمة25) / 25

نلاحظ أن هذا يُشبه المعدل القديم (الذي كان 70) بالضبط، ولكن تم ضرب كل قيمة بـ 2. لذلك، المعدل الجديد سيكون:

المعدل الجديد = 2 × المعدل القديم

الآن نعوض بالقيمة المعروفة للمعدل القديم (70):

المعدل الجديد = 2 × 70

المعدل الجديد = 140

إذاً، المعدل الجديد لعلامات الطلاب بعد أن يتم ضعفها هو 140.

بالطبع، دعونا نستكشف تفاصيل أكثر لحل هذه المسألة الرياضية ونُبيّن القوانين المستخدمة.

المسألة:

لنقم بتعريف العلامات القديمة بالـ $x$، حيث $x$ هي علامة أحد الطلاب القديمة. ثم نقوم بحساب المعدل القديم باستخدام القانون التالي:

$\text{المعدل القديم} = \frac{\text{مجموع العلامات القديمة}}{\text{عدد الطلاب}}$

وبما أن المعدل القديم هو 70 وعدد الطلاب هو 25، يمكننا كتابة المعادلة التالية:

$70 = \frac{25x}{25}$

حيث نحل المعادلة للحصول على قيمة $x$ وهي العلامة القديمة لأحد الطلاب.

الآن، لحساب المعدل الجديد بعد تضاعف العلامات، نستخدم القانون التالي:

$\text{المعدل الجديد} = \frac{\text{مجموع العلامات الجديدة}}{\text{عدد الطلاب}}$

ونعلم أن العلامة الجديدة تكون $2x$، لذا يمكننا كتابة المعادلة التالية:

$\text{المعدل الجديد} = \frac{2x + 2x + \ldots + 2x}{25}$

حيث يوجد لدينا 25 علامة جديدة (تمثل الـ $2x$ لكل طالب).

الآن، نقوم بتبسيط العبارة:

$\text{المعدل الجديد} = \frac{2x + 2x + \ldots + 2x}{25} = \frac{50x}{25}$

نستخدم القانون الأساسي للجمع لجمع الـ $2x$ 25 مرة:

$\text{المعدل الجديد} = \frac{50x}{25} = 2x$

إذاً، المعدل الجديد يكون مجرد ضعف العلامة القديمة $x$.

أخيرًا، نستخدم القيمة المعروفة للمعدل القديم (70) لحساب العلامة القديمة $x$ ومن ثم حساب المعدل الجديد:

$70 = \frac{25x}{25}$

$x = 70$

$\text{المعدل الجديد} = 2x = 2 \times 70 = 140$

قوانين الحساب والجبر المستخدمة:

1. قانون الجمع والقسمة: لحساب المعدل.
2. ضرب العدد في مجموعة من الأعداد: لحساب المعدل بعد تضاعف العلامات.
3. قانون التجميع للجمع المتكرر: لجمع العلامات الجديدة المكررة.
4. قانون التبسيط الجبري: لتبسيط العبارات الرياضية.

تم استخدام هذه القوانين لفهم وحل المسألة بطريقة منظمة ودقيقة.