تسلسل هندسي ونمو متسارع: العدد 100,000,000,000,000,000 (مسألة رياضيات)

العدد الأول هو 10، والعدد الثاني هو 1000، والعدد الثالث هو 100000، وهكذا يتسارع الزيادة بين الأعداد، حيث تضاعف كل عدد مقارنةً بالعدد الذي قبله. لنفترض أننا نتحدث عن تسلسل هندسي حيث نحتاج إلى العثور على العدد التاسع في هذا التسلسل.

لحساب العدد التاسع، يمكننا استخدام الصيغة العامة لتسلسل هندسي:

$a_n = a_1 \times r^{(n-1)}$

حيث:

• $a_n$ هو العدد الذي نريد حسابه (العدد التاسع في هذه الحالة).
• $a_1$ هو العدد الأول في التسلسل.
• $r$ هو النسبة المتسارعة (تتمثل في قوة العدد الذي يتم ضربه في كل مرة).
• $n$ هو الموضع في التسلسل.

في هذه الحالة:

• $a_1 = 10$ (العدد الأول).
• $r = 100$ (العدد الثاني مقسوم على العدد الأول).
• $n = 9$ (العدد الذي نريد حسابه).

إذاً، يمكننا حساب العدد التاسع كالتالي:

$a_9 = 10 \times (100)^{(9-1)}$

$a_9 = 10 \times (100)^8$

$a_9 = 10 \times 10000000000000000$

$a_9 = 100000000000000000$

إذاً، العدد التاسع في هذا التسلسل هو 100,000,000,000,000,000.

لنقم بتوضيح الحل بشكل أكثر تفصيلاً ونشرح القوانين المستخدمة في هذه المسألة. نتحدث عن تسلسل هندسي، وهو نوع من التسلسلات الرياضية حيث يتم ضرب كل عنصر في التسلسل السابق بعدد ثابت يُسمى النسبة المتسارعة ($r$).

المعطيات:

• $a_1 = 10$ (العدد الأول في التسلسل).
• $r = 100$ (النسبة المتسارعة).

الصيغة العامة لتسلسل هندسي:
$a_n = a_1 \times r^{(n-1)}$

حيث:

• $a_n$ هو العدد الذي نريد حسابه (العدد التاسع في هذه الحالة).
• $a_1$ هو العدد الأول في التسلسل.
• $r$ هو النسبة المتسارعة (تتمثل في قوة العدد الذي يتم ضربه في كل مرة).
• $n$ هو الموضع في التسلسل.

الحسابات:
$a_9 = 10 \times (100)^{(9-1)}$

نستخدم هنا القاعدة التي تنص على أننا نرفع النسبة المتسارعة ($r$) إلى الأس (الموضع – 1) للحصول على العنصر الذي نريد حسابه.

$a_9 = 10 \times (100)^8$

$a_9 = 10 \times 10000000000000000$

$a_9 = 100000000000000000$

إذاً، العدد التاسع في هذا التسلسل هو 100,000,000,000,000,000.

القوانين المستخدمة:

1. صيغة التسلسل الهندسي:
   $a_n = a_1 \times r^{(n-1)}$
   هذه الصيغة تعبر عن كيفية حساب أي عنصر في تسلسل هندسي.

2. الاستخدام الصحيح للمتغيرات:

   • $a_n$ يمثل العنصر الذي نريد حسابه.
   • $a_1$ يمثل العنصر الأول في التسلسل.
   • $r$ يمثل النسبة المتسارعة.
   • $n$ هو الموضع في التسلسل.

3. قاعدة حساب الأسيّ:
   $a^m \times a^n = a^{m+n}$
   تمثل هذه القاعدة كيفية جمع أو ضرب أسين متشابهين.

4. التعامل مع الأعداد الكبيرة:
   في هذا السياق، نحن نتعامل مع أعداد كبيرة ونقوم بحسابها بدقة باستخدام التعويض الرياضي.