ترتيب 2 رجال و 4 نساء: حساب الاحتمالات

ستتم الإجابة على المسألة الرياضية بطريقة تفصيلية وشافية. تُطرح المسألة كالتالي:

عدد الطرق التي يمكن بها ترتيب 2 رجال و 4 نساء في صف واحد بحيث لا يقف الرجال (أو النساء) بجوار بعضهما البعض؟

لحساب هذا، سنبدأ بحساب عدد الطرق الإجمالي لترتيب هؤلاء الأفراد في صف واحد. لدينا 6 أشخاص، وبالتالي نحتاج إلى حساب 6! (6 فاكتوريال) حيث:

$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$

والآن، سنحسب عدد الطرق التي يمكن فيها وضع الرجال بحيث لا يقفون بجوار بعضهما البعض. لدينا 2 رجال، وهما يمكن أن يكونوا في أي من 5 مواقع مختلفة بين النساء أو في الطرفين. لحساب ذلك، نقوم بحساب 5! (5 فاكتوريال) حيث:

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

وبما أن هناك اثنين من الرجال، سنضرب هذا الناتج في 2.

$2 \times 120 = 240$

أخيرًا، نقوم بطرح عدد الطرق التي يمكن فيها وضع الرجال بحيث لا يقفون بجوار بعضهما البعض من الإجمالي:

$720 – 240 = 480$

إذاً، هناك 480 طريقة مختلفة لترتيب هؤلاء الأفراد في صف واحد بحيث لا يقف الرجال (أو النساء) بجوار بعضهما البعض.

لحل هذه المسألة، سنقوم بالاعتماد على بعض القوانين المتعلقة بحسابات الترتيب والاحتمالات. القوانين المستخدمة تشمل قاعدة الضرب وقاعدة الطرح.

لنفصل الحل خطوة بخطوة:

1. حساب عدد الطرق الإجمالي لترتيب الأفراد:
   نستخدم قاعدة الضرب حيث يوجد 6 أشخاص (2 رجل و4 امرأة)، لذا نقوم بحساب $6!$ (6 فاكتوريال).

   $6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$

2. حساب عدد الطرق التي يمكن فيها وضع الرجال بحيث لا يقفون بجوار بعضهما البعض:
   نستخدم قاعدة الطرح، حيث يمكن وضع الرجال في أي من 5 مواقع بين النساء أو في الطرفين. لذا، نقوم بحساب $5!$ (5 فاكتوريال) لعدد الطرق.

   $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

   ونضرب هذا الناتج في 2 لأن هناك اثنين من الرجال.

   $2 \times 120 = 240$

3. حساب الإجمالي بعد طرح الحالات الغير مرغوب فيها:
   نستخدم قاعدة الطرح لطرح عدد الحالات التي لا نرغب فيها من الإجمالي.

   $720 – 240 = 480$

لذا، هناك 480 طريقة مختلفة لترتيب هؤلاء الأفراد في صف واحد بحيث لا يقف الرجال (أو النساء) بجوار بعضهما البعض.

تلخيص القوانين المستخدمة:

• قاعدة الضرب: تستخدم لحساب الإجمالي عندما يتم تنفيذ عدة خطوات متتالية.
• قاعدة الطرح: تستخدم لحساب الفارق أو الحالات التي نرغب في استبعادها من الإجمالي.