ترتيب كرات البوظة: حساب الترتيبات (مسألة رياضيات)

يمكن ترتيب البوظة المكونة من أربع كرات بأربع ترتيبات مختلفة، وذلك بتغيير ترتيب الكرات المتوفرة. الكرات هي كالتالي: فانيليا، شوكولاتة، فراولة، وكرز. لحساب عدد الترتيبات الممكنة، يمكننا استخدام مفهوم الحساب التركيبي.

نظرًا لأننا نريد ترتيب الكرات بشكل متتالي من أعلى إلى أسفل، فإن عدد الطرق لترتيب الكرات يكون مجرد عدد الطرق التي يمكن ترتيبها فيها. ولأنه يمكن وضع أي كرة في الطبقة الأولى، ومن ثم تقليب الكرات الثلاث المتبقية بأي ترتيب، فإن عدد الترتيبات هو عدد الكرات المختلفة المتاحة.

بمعنى آخر، إذا كان هناك 4 كرات، فإن عدد الطرق لترتيبها هو 4! (4 عاملي)، والذي يساوي:
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

لذلك، يمكن ترتيب البوظة في 24 ترتيبًا مختلفًا عند ترتيب الكرات من الأعلى إلى الأسفل.

لحل مسألة ترتيب الكرات في البوظة، نستخدم مفهوم الحساب التركيبي وقوانينه. قوانين الحساب التركيبي التي نستخدمها هي:

1. قانون الضرب: يُستخدم لحساب عدد الطرق لتنفيذ سلسلة من الخطوات المستقلة. إذا كان لدينا $m$ طريقة للقيام بشيء و $n$ طريقة للقيام بشيء آخر، فإن عدد الطرق الإجمالي للقيام بالاثنين معًا هو $m \times n$.

2. قانون الترتيب: يُستخدم لحساب عدد الطرق لترتيب عناصر مختلفة. إذا كان لدينا مجموعة من $n$ عنصرًا يجب ترتيبها، فإن عدد الترتيبات الممكنة لهذه العناصر هو $n!$ حيث $n!$ تعبر عن عاملي العدد $n$.

لحساب عدد الترتيبات الممكنة للكرات في البوظة، لدينا 4 كرات مختلفة يجب ترتيبها. وباستخدام قانون الترتيب، نجد أن عدد الترتيبات هو $4!$.

$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

لذا، هناك 24 ترتيبًا مختلفًا يمكننا ترتيب الكرات فيها في البوظة عندما نرتبها من الأعلى إلى الأسفل.