ترتيب كتب على الرف: حساب الاختيارات والترتيبات (مسألة رياضيات)

يمكن للمعلم ترتيب 3 نسخ من مقدمة في الهندسة و4 نسخ من مقدمة في نظرية الأعداد على رف كتب. لنحسب عدد الطرق الممكنة لترتيب هذه الكتب.

لحساب عدد الطرق الممكنة للترتيب، نستخدم مفهوم الاختيارات والترتيب. يمكننا استخدام الصيغة التالية لحساب الطرق:

$n! = n \times (n – 1) \times (n – 2) \times \ldots \times 2 \times 1$

حيث $n$ هو عدد العناصر.

لحساب عدد الطرق الممكنة لترتيب الكتب، نضع عدد النسخ من كل كتاب في الصيغة التالية:

$3! \times 4!$

وهذا يساوي:

$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

الآن نحسب العدد الإجمالي للطرق:

$3! \times 4! = 6 \times 24 = 144$

إذاً، هناك 144 طريقة ممكنة لترتيب الكتب على الرف.

لحل هذه المسألة، نستخدم مبدأ الاختيار والترتيب وهو أحد القوانين الأساسية في مجال الاحتمالات والتركيبات والتنظيمات. يستخدم هذا المبدأ عندما نحتاج إلى حساب عدد الطرق الممكنة لترتيب مجموعة من العناصر.

قوانين المستخدمة في الحل:

1. مبدأ الضرب: هذا المبدأ يقول إذا كان هناك $n$ خيار لعملية معينة و $m$ خيار لعملية أخرى مرتبطة بها، فإن هناك إجمالي $n \times m$ خيارًا للقيام بالعملية الكاملة. يستخدم هذا المبدأ لحساب عدد الطرق الممكنة لترتيب العناصر.

2. عدد الطرق للترتيب (Factorial): عندما نريد ترتيب مجموعة من العناصر، فإن عدد الطرق الممكنة يتمثل في العدد الكلي للترتيبات الممكنة لهذه العناصر، ويحسب بواسطة العامل الضربي لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة حتى العدد نفسه.

لحساب عدد الطرق الممكنة لترتيب الكتب، نقوم بتطبيق المبدأين المذكورين أعلاه:

1. لدينا 3 نسخ من “مقدمة في الهندسة” و 4 نسخ من “مقدمة في نظرية الأعداد”.
2. نستخدم مبدأ الضرب لحساب عدد الطرق الممكنة لترتيب الكتب: $3! \times 4!$.

الآن، نقوم بحساب العدد الكلي للترتيبات الممكنة لكل كتاب بشكل منفصل:

• لـ “مقدمة في الهندسة”: $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ طرق.
• لـ “مقدمة في نظرية الأعداد”: $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ طريقة.

أخيرًا، نقوم بضرب عدد الطرق لترتيب الكتب في كل من الكتب معًا:

$3! \times 4! = 6 \times 24 = 144$

إذاً، هناك 144 طريقة ممكنة لترتيب الكتب على الرف.