تحويل ورسم الدوال الرياضية (مسألة رياضيات)

نريد رسم الدالة $y = \frac{1}{2} f(x) + 3$ باستخدام الدالة $f(x)$ المعطاة في الرسم الأول. الدالة $f(x)$ مقسمة إلى ثلاثة أقسام على الفترات التالية: $[-3, 0]$ ، $[0, 2]$ ، و $[2, 3]$.

لحل هذه المسألة، نبدأ بمعرفة كيفية تحويل الدالة $f(x)$ إلى الدالة $y = \frac{1}{2} f(x) + 3$. تحول الدالة ينطوي على تغيير الارتفاع والانحراف الرأسي للدالة. نقوم بضرب الدالة $f(x)$ بمقدار $\frac{1}{2}$ ثم نضيف 3 إلى كل نقطة على الرسم.

لنقم بوصف الرسم:

• نقوم برسم الخطوط الرأسية والأفقية لتوجيه الرسم.
• نرسم دالة $f(x)$ باللون الأحمر في الرسم الأول.
• نقوم برسم الدالة $y = \frac{1}{2} f(x) + 3$ في الرسم الثاني.

الآن، بعد رسم الدالة $y = \frac{1}{2} f(x) + 3$ في الرسم الثاني، نلاحظ أن الرسم المناسب هو الخيار (C).

لحل المسألة ورسم الدالة $y = \frac{1}{2} f(x) + 3$، يمكننا اتباع الخطوات التالية:

1. تحليل الدالة الأصلية $f(x)$:

   • نقسم الدالة $f(x)$ إلى ثلاثة أقسام: $[-3, 0]$ ، $[0, 2]$ ، و $[2, 3]$.
   • في الفترة $[-3, 0]$، $f(x) = -2 – x$ وهي خط مستقيم بميل سالب.
   • في الفترة $[0, 2]$، $f(x) = \sqrt{4 – (x – 2)^2} – 2$ وهي نصف دائرة مركزها في (2، -2) ونصف قطرها 2.
   • في الفترة $[2, 3]$، $f(x) = 2(x – 2)$ وهي خط مستقيم بميل موجب.

2. تحويل الدالة $f(x)$ إلى $y = \frac{1}{2} f(x) + 3$:

   • نقوم بضرب قيم الدالة $f(x)$ بالعامل $\frac{1}{2}$ لتصغير القيم.
   • ثم نقوم بإضافة 3 إلى كل نقطة على الرسم لرفع الدالة بثلاث وحدات.

3. رسم الدالة الجديدة $y = \frac{1}{2} f(x) + 3$:

   • نستخدم نفس الفترات الثلاثة $[-3, 0]$ ، $[0, 2]$ ، و $[2, 3]$ لرسم الدالة الجديدة.
   • نرسم الدالة $y = \frac{1}{2} f(x) + 3$ في كل فترة باستخدام التحولات المذكورة أعلاه.

القوانين والخطوات المستخدمة في هذا الحل تعتمد على مفاهيم الرسم البياني والتحولات الأساسية للدوال. هذه القوانين تشمل:

• ضرب الدالة بمقدار: يؤدي ضرب الدالة بعامل غير واحد إلى تغيير في ارتفاع الدالة.
• الإضافة والطرح للدوال: يمكننا إضافة أو طرح ثوابت للدالة لتحريكها رأسيًا.
• تحليل الدوال الأساسية: يتضمن فهم الدوال الأساسية مثل الخطوط المستقيمة والدوال الجبرية والدوال الجذرية والدوال الدائرية.
• رسم الدوال على الرسم البياني: يتطلب رسم الدوال فهما جيدا لنمط وشكل الدوال على المستوى البياني.

باستخدام هذه القوانين، يمكننا فهم الدوال ورسمها بدقة وفهم العلاقات بينها وبين التحولات التي تطبق عليها.