تحويل كرة معدنية إلى مخروط

تم ذوبان كرة صلبة معدنية ذات قطر 6 سم وإعادة صياغتها إلى مخروط يتميز بقطر قاعدته 12 سم. الارتفاع الذي يتميز به هذا المخروط هو:

لنقم أولاً بحساب حجم الكرة باستخدام القانون التالي:

$V_{\text{الكرة}} = \frac{4}{3} \pi r_{\text{الكرة}}^3$

حيث $r_{\text{الكرة}}$ هو نصف قطر الكرة، ويمكن حسابه كالتالي:

$r_{\text{الكرة}} = \frac{d_{\text{الكرة}}}{2}$

وبتعويض القيم المعطاة (قطر الكرة = 6 سم)، نحسب $r_{\text{الكرة}}$ ومن ثم نحسب حجم الكرة $V_{\text{الكرة}}$.

ثم، سنستخدم حجم الكرة لحساب الارتفاع $h_{\text{المخروط}}$ للمخروط الذي تم صياغته من الكرة. يتم ذلك باستخدام حجم المخروط:

$V_{\text{المخروط}} = \frac{1}{3} \pi r_{\text{المخروط}}^2 h_{\text{المخروط}}$

حيث $r_{\text{المخروط}}$ هو نصف قطر قاعدة المخروط. ونعلم أن $r_{\text{المخروط}}$ هو نصف قطر قاعدة الكرة الأصلية، ولذا $r_{\text{المخروط}} = r_{\text{الكرة}}$.

نستخدم العلاقة بين حجم الكرة والمخروط لحساب الارتفاع $h_{\text{المخروط}}$.

الآن سنقوم بحساب هذه القيم الرياضية للوصول إلى الإجابة النهائية.

نبدأ بحساب نصف قطر الكرة ($r_{\text{الكرة}}$) باستخدام القطر المعطى للكرة ($d_{\text{الكرة}} = 6 \, \text{سم}$):

$r_{\text{الكرة}} = \frac{d_{\text{الكرة}}}{2} = \frac{6}{2} = 3 \, \text{سم}$

ثم نقوم بحساب حجم الكرة ($V_{\text{الكرة}}$) باستخدام القانون:

$V_{\text{الكرة}} = \frac{4}{3} \pi r_{\text{الكرة}}^3 = \frac{4}{3} \pi (3)^3 = 36 \pi \, \text{سم}^3$

الآن، نستخدم حجم الكرة لحساب الارتفاع ($h_{\text{المخروط}}$) للمخروط الذي يتم صياغته من الكرة. نعلم أن نصف قطر قاعدة المخروط ($r_{\text{المخروط}}$) يساوي نصف قطر الكرة ($r_{\text{الكرة}}$):

$r_{\text{المخروط}} = r_{\text{الكرة}} = 3 \, \text{سم}$

نستخدم حجم المخروط وعلاقته مع حجم الكرة لحساب الارتفاع:

$V_{\text{المخروط}} = \frac{1}{3} \pi r_{\text{المخروط}}^2 h_{\text{المخروط}}$

نعلم أن $V_{\text{المخروط}} = V_{\text{الكرة}}$، لذا:

$36 \pi = \frac{1}{3} \pi (3)^2 h_{\text{المخروط}}$

نقوم بحساب الارتفاع ($h_{\text{المخروط}}$):

$h_{\text{المخروط}} = \frac{36 \pi}{\frac{1}{3} \times 9} = \frac{36 \pi}{3} = 12 \pi \, \text{سم}$

إذاً، الارتفاع الذي يتميز به المخروط هو $12 \pi \, \text{سم}$.

بدأنا بحساب نصف قطر الكرة ($r_{\text{الكرة}}$) باستخدام القطر المعطى للكرة ($d_{\text{الكرة}} = 6 \, \text{سم}$)، واستخدمنا القاعدة البسيطة $r_{\text{الكرة}} = \frac{d_{\text{الكرة}}}{2}$ للحصول على القيمة $r_{\text{الكرة}} = 3 \, \text{سم}$.

ثم قمنا بحساب حجم الكرة ($V_{\text{الكرة}}$) باستخدام القانون $V_{\text{الكرة}} = \frac{4}{3} \pi r_{\text{الكرة}}^3$. في هذه الحالة، قمنا بتعويض القيمة المحسوبة لـ $r_{\text{الكرة}}$ للحصول على $V_{\text{الكرة}} = 36 \pi \, \text{سم}^3$.

بعد ذلك، استخدمنا حجم الكرة لحساب الارتفاع ($h_{\text{المخروط}}$) للمخروط الذي صاغ من الكرة. استخدمنا القاعدة $r_{\text{المخروط}} = r_{\text{الكرة}}$ لأن النصف قطر لقاعدة المخروط يساوي نصف قطر الكرة.

استخدمنا حجم المخروط ($V_{\text{المخروط}}$) وقانونه $V_{\text{المخروط}} = \frac{1}{3} \pi r_{\text{المخروط}}^2 h_{\text{المخروط}}$. قمنا بتعويض القيمة المحسوبة لـ $r_{\text{المخروط}}$ للحصول على $h_{\text{المخروط}} = 12 \pi \, \text{سم}$.

قوانين الحسابات المستخدمة هي:

1. حجم الكرة ($V_{\text{الكرة}} = \frac{4}{3} \pi r_{\text{الكرة}}^3$).
2. حجم المخروط ($V_{\text{المخروط}} = \frac{1}{3} \pi r_{\text{المخروط}}^2 h_{\text{المخروط}}$).
3. العلاقة بين نصف قطر الكرة ونصف قطر المخروط ($r_{\text{المخروط}} = r_{\text{الكرة}}$).

استخدمنا هذه القوانين بدقة للوصول إلى الإجابة النهائية بطريقة دقيقة ومفصلة.