تحويل دالة رياضية بتحول أفقي (مسألة رياضيات)

المعادلة الرياضية التي تُمثل الدالة المعروفة هي:

$y = f(x) = \begin{cases} -2 – x & \text{if } -3 \leq x \leq 0, \\ \sqrt{4 – (x – 2)^2} – 2 & \text{if } 0 \leq x \leq 2, \\ 2(x – 2) & \text{if } 2 \leq x \leq 3. \end{cases}$

نطرح السؤال: ما هي المعادلة التي تُمثل الدالة $y = f(x + 2)$؟

للحصول على هذه المعادلة، نقوم بتغيير $x$ بوحدة إلى اليمين في المعادلة الأصلية. لذا، نقوم بتبديل $x$ بـ $(x + 2)$. بالتالي، الدالة $y = f(x + 2)$ ستكون:

$y = f(x + 2) = \begin{cases} -2 – (x + 2) & \text{if } -3 \leq (x + 2) \leq 0, \\ \sqrt{4 – ((x + 2) – 2)^2} – 2 & \text{if } 0 \leq (x + 2) \leq 2, \\ 2((x + 2) – 2) & \text{if } 2 \leq (x + 2) \leq 3. \end{cases}$

بسيطة، نقوم بحساب القيم المحددة لكل جزء من الدالة. أولًا، لنحدد قيم $x$ التي تحدد كل جزء:

1. الجزء الأول: $-3 \leq (x + 2) \leq 0$، بالتالي $-5 \leq x \leq -2$.
2. الجزء الثاني: $0 \leq (x + 2) \leq 2$، بالتالي $-2 \leq x \leq 0$.
3. الجزء الثالث: $2 \leq (x + 2) \leq 3$، بالتالي $0 \leq x \leq 1$.

الآن، نستخدم هذه القيم في كتابة المعادلة لكل جزء:

1. الجزء الأول: $y = -2 – (x + 2) = -x – 4$ (للقيم في الفترة من $-5 \leq x \leq -2$).
2. الجزء الثاني: $y = \sqrt{4 – ((x + 2) – 2)^2} – 2 = \sqrt{4 – x^2} – 2$ (للقيم في الفترة من $-2 \leq x \leq 0$).
3. الجزء الثالث: $y = 2((x + 2) – 2) = 2x$ (للقيم في الفترة من $0 \leq x \leq 1$).

لذا، المعادلة الكاملة للدالة $y = f(x + 2)$ هي:

$y = f(x + 2) = \begin{cases} -x – 4 & \text{if } -5 \leq x \leq -2, \\ \sqrt{4 – x^2} – 2 & \text{if } -2 \leq x \leq 0, \\ 2x & \text{if } 0 \leq x \leq 1. \end{cases}$

أخيرًا، نقوم بتحديد الرسم البياني الصحيح الذي يُمثل هذه المعادلة. في الرسم البياني السابق، يظهر أن الرسم البياني B يُمثل الدالة $y = f(x + 2)$، لذا الإجابة هي B.

لحل هذه المسألة وفهم كيف تم تحويل الدالة $y = f(x)$ إلى $y = f(x + 2)$، سنقوم بتحليل العمليات خطوة بخطوة مع استخدام بعض القوانين والمفاهيم الرياضية.

الدالة الأصلية:
$y = f(x) = \begin{cases} -2 – x & \text{if } -3 \leq x \leq 0, \\ \sqrt{4 – (x – 2)^2} – 2 & \text{if } 0 \leq x \leq 2, \\ 2(x – 2) & \text{if } 2 \leq x \leq 3. \end{cases}$

الهدف هو الوصول إلى $y = f(x + 2)$. للقيام بذلك، نقوم بتحويل القيمة $x$ في الدالة الأصلية إلى $x + 2$. للقيام بذلك، سنستخدم القاعدة الرئيسية لتحول الدوال:

1. تحول أفقي (Horizontal Shift): لتحويل الدالة إلى اليمين بوحدتين، نستخدم $f(x + 2)$.

   $y = f(x + 2) = \begin{cases} -2 – (x + 2) & \text{if } -3 \leq (x + 2) \leq 0, \\ \sqrt{4 – ((x + 2) – 2)^2} – 2 & \text{if } 0 \leq (x + 2) \leq 2, \\ 2((x + 2) – 2) & \text{if } 2 \leq (x + 2) \leq 3. \end{cases}$

2. تحديد الفترات (Interval Determination): نحدد الفترات التي تتغير فيها قيم $x$ بناءً على التحول الأفقي.

   • الفترة الأولى: $-5 \leq x \leq -2$ (الفترة الأصلية: $-3 \leq x \leq 0$).
   • الفترة الثانية: $-2 \leq x \leq 0$ (الفترة الأصلية: $0 \leq x \leq 2$).
   • الفترة الثالثة: $0 \leq x \leq 1$ (الفترة الأصلية: $2 \leq x \leq 3$).

3. تعويض القيم والتبسيط (Substitution and Simplification): نعوض القيم الجديدة لـ $x$ في الدوال المعنية.

   • الفترة الأولى: $y = -2 – (x + 2) = -x – 4$
   • الفترة الثانية: $y = \sqrt{4 – ((x + 2) – 2)^2} – 2 = \sqrt{4 – x^2} – 2$
   • الفترة الثالثة: $y = 2((x + 2) – 2) = 2x$

4. تمثيل الدالة (Graphing): نرسم الدوال الثلاثة الجديدة على نفس المحور الإحداثي لفهم كيف تم تحول الرسم البياني.

   • الفترة الأولى: رسم $y = -x – 4$
   • الفترة الثانية: رسم $y = \sqrt{4 – x^2} – 2$
   • الفترة الثالثة: رسم $y = 2x$

5. تحديد الإجابة (Identifying the Answer): نقارن الرسم البياني الجديد مع الرسم الأصلي لتحديد أي رسم يُمثل $y = f(x + 2)$. في هذه المسألة، الرسم B يمثل الدالة $y = f(x + 2)$.

قوانين الرياضيات المستخدمة:

1. قانون تحول الدالة الأفقي: $f(x + c)$ ينتج عنه تحول أفقي بمقدار $c$ إلى اليمين إذا كان $c > 0$.
2. قانون تحويل الفترات: تحديد الفترات التي يتغير فيها $x$ بسبب التحول.
3. قانون الإشارة: تحديد متى تتغير إشارة الدالة نتيجة للتحول.
4. قانون تعويض القيم والتبسيط: استخدام التعويض للحصول على الدوال الجديدة وتبسيطها.
5. قانون تمثيل الدالة: رسم الدوال لفهم التحولات والتحقق من الإجابة.

تمثل هذه العمليات الرياضية الخطوات الأساسية التي تساعد في تحويل وتحليل الدوال الرياضية.