تحويل تمثيل عشري متكرر إلى كسر (مسألة رياضيات)

التمثيل العشري لكسر ينتهي بالرقم 0.3 المتكرر. عند تحويل هذا التمثيل العشري إلى كسر عادي وتقليصه إلى أبسط صورة، ما هو المقام (المعامل السفلي) لهذا الكسر؟

الحل:

لنقم بحساب الكسر العشري المتكرر $0.\overline{3}$ إلى كسر عادي.

لنمثل $0.\overline{3}$ بشكل مجموعة من الأرقام كالتالي:
$0.\overline{3} = \frac{3}{10} + \frac{3}{100} + \frac{3}{1000} + \ldots$

الآن سنقوم بحساب الكسر العشري الذي ينتهي بـ $0.\overline{3}$. سنستخدم الصيغة التالية لحساب مجموع سلسلة لا نهائية:
$S = \frac{a}{1-r}$

حيث:

• $S$ هو مجموع السلسلة.
• $a$ هو العنصر الأول في السلسلة.
• $r$ هو نسبة التناقص بين العناصر المتتالية.

في حالتنا:

• $a = \frac{3}{10}$ (العنصر الأول في السلسلة).
• $r = \frac{1}{10}$ (نسبة التناقص).

قم بحساب المجموع $S$:
$S = \frac{\frac{3}{10}}{1 – \frac{1}{10}}$

قم بتبسيط هذا الكسر:
$S = \frac{\frac{3}{10}}{\frac{9}{10}}$

ثم قم بضرب الكسر العلوي في معامل الكسر السفلي (ضرب في الناتج العكسي):
$S = \frac{3}{10} \times \frac{10}{9}$

النواتج تتقلص ونحصل على:
$S = \frac{1}{3}$

إذًا، الكسر المتكرر $0.\overline{3}$ يتحول إلى الكسر العادي $\frac{1}{3}$.

وبالتالي، المقام (المعامل السفلي) للكسر العادي المُقَلَّل إلى أبسط صورة هو 3.

بالطبع، سنقوم بتوضيح أكثر حول حل المسألة والقوانين المستخدمة.

حل المسألة:

لنحسب الكسر العشري المتكرر $0.\overline{3}$ إلى كسر عادي، نستخدم الفكرة التي تقول إن $0.\overline{3}$ يمكن تمثيله كمجموعة من الكسور البسيطة.

لدينا:
$0.\overline{3} = \frac{3}{10} + \frac{3}{100} + \frac{3}{1000} + \ldots$

القاعدة المستخدمة هي أن الكسر المتكرر يمكن تمثيله كمجموعة لا نهائية تحتوي على نسب تتقلص. ونستخدم القاعدة الرياضية لجمع مجموعة لا نهائية لحساب القيمة الإجمالية.

الصيغة المستخدمة لحساب مجموع السلسلة لا نهائية هي:
$S = \frac{a}{1-r}$

حيث:

• $S$ هو مجموع السلسلة.
• $a$ هو العنصر الأول في السلسلة.
• $r$ هو نسبة التناقص بين العناصر المتتالية.

في حالتنا:

• $a = \frac{3}{10}$ (العنصر الأول في السلسلة).
• $r = \frac{1}{10}$ (نسبة التناقص).

نقوم بتطبيق الصيغة وحساب مجموع السلسلة:
$S = \frac{\frac{3}{10}}{1 – \frac{1}{10}} = \frac{\frac{3}{10}}{\frac{9}{10}} = \frac{3}{10} \times \frac{10}{9} = \frac{1}{3}$

وبالتالي، وجدنا أن $0.\overline{3} = \frac{1}{3}$.

القوانين المستخدمة:

1. قاعدة تمثيل الكسور العشرية المتكررة: يمكن تمثيل كسر عشري متكرر كمجموعة من الكسور البسيطة. في هذه المسألة، قمنا بتمثيل $0.\overline{3}$ كمجموعة من الكسور مثل $\frac{3}{10} + \frac{3}{100} + \frac{3}{1000} + \ldots$.

2. قاعدة جمع السلسلة اللامتناهية: استخدمنا الصيغة $S = \frac{a}{1-r}$ لحساب مجموع السلسلة اللامتناهية. حيث $a$ هو العنصر الأول في السلسلة و$r$ هو نسبة التناقص بين العناصر المتتالية.

3. تحويل الكسور العشرية المتكررة إلى كسور عادية: قمنا بتحويل $0.\overline{3}$ إلى الكسر العادي $\frac{1}{3}$ باستخدام عملية جمع السلسلة اللامتناهية.

هذه القوانين تعتمد على مفاهيم السلاسل الرياضية وتمثيل الأعداد العشرية، وهي ذات استخدام واسع في الرياضيات.