تحويل النقطة إلى إحداثيات مستطيلة. (مسألة رياضيات)

النقطة $(\rho,\theta,\phi) = \left( 3, \frac{5 \pi}{12}, 0 \right)$ في إحداثيات كروية يمكن تحويلها إلى إحداثيات مستطيلة باستخدام العلاقات التالية:

$x = \rho \sin\phi \cos\theta$
$y = \rho \sin\phi \sin\theta$
$z = \rho \cos\phi$

باستخدام القيم المعطاة في المسألة، حيث $\rho = 3$، $\theta = \frac{5\pi}{12}$، و $\phi = 0$، يمكننا حساب القيم المطلوبة:

$x = 3 \sin(0) \cos\left(\frac{5\pi}{12}\right) = 0 \times \cos\left(\frac{5\pi}{12}\right) = 0$

$y = 3 \sin(0) \sin\left(\frac{5\pi}{12}\right) = 0 \times \sin\left(\frac{5\pi}{12}\right) = 0$

$z = 3 \cos(0) = 3$

بالتالي، الإحداثيات المستطيلة للنقطة هي $(0, 0, 3)$.

لحل المسألة وتحويل النقطة من إحداثيات كروية إلى إحداثيات مستطيلة، نحتاج إلى استخدام بعض القوانين والمعادلات المرتبطة بالتحويل بين الإحداثيات.

القوانين المستخدمة في الحل تشمل:

1. علاقة النقطة في إحداثيات كروية: النقطة في الفضاء ثلاثي الأبعاد يمكن تمثيلها بواسطة ثلاثة قيم: $\rho$ (المسافة من النقطة إلى الأصل)، $\theta$ (زاوية الإزاحة من المحور الرئيسي $x$)، و $\phi$ (زاوية الإزاحة من المحور $z$).

2. التحويل إلى إحداثيات مستطيلة: باستخدام العلاقات التي تربط بين الإحداثيات الكروية والإحداثيات المستطيلة، يمكن تحويل النقطة من إحداثيات كروية $(\rho, \theta, \phi)$ إلى إحداثيات مستطيلة $(x, y, z)$.

بالنسبة للحل، نقوم بتطبيق العلاقات المذكورة سابقاً:

1. نعوض قيم الإحداثيات الكروية المعطاة في العلاقات الخاصة بتحويل الإحداثيات.

2. نستخدم الدوال المثلثية لحساب قيم السين والكوسين للزوايا المعطاة.

3. نضع القيم في العلاقات للحصول على الإحداثيات المستطيلة للنقطة.

الآن، سنقوم بتطبيق هذه الخطوات على المسألة المعطاة:

الإحداثيات المعطاة: $(\rho,\theta,\phi) = \left( 3, \frac{5 \pi}{12}, 0 \right)$

نستخدم العلاقات التالية:
$x = \rho \sin\phi \cos\theta$
$y = \rho \sin\phi \sin\theta$
$z = \rho \cos\phi$

بالتعويض نحصل على:
$x = 3 \sin(0) \cos\left(\frac{5\pi}{12}\right) = 0 \times \cos\left(\frac{5\pi}{12}\right) = 0$
$y = 3 \sin(0) \sin\left(\frac{5\pi}{12}\right) = 0 \times \sin\left(\frac{5\pi}{12}\right) = 0$
$z = 3 \cos(0) = 3$

لذا، الإحداثيات المستطيلة للنقطة هي $(0, 0, 3)$.

هذا هو الحل الكامل لتحويل النقطة من إحداثيات كروية إلى إحداثيات مستطيلة مع استخدام القوانين المذكورة.