تحويل المناطق باستخدام المصفوفات (مسألة رياضيات)

لنكن $S$ مساحة في السطح بمساحة تساوي 10. عند تطبيق المصفوفة
$\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 7 & -3 \end{pmatrix}$
على $S$، نحصل على المساحة $S’.$ لنحسب مساحة $S’.$

للقيام بذلك، سنقوم بتطبيق المصفوفة على نقاط $S$ للحصول على نقاط $S’$، ثم نستخدم هذه النقاط لحساب مساحة $S’.$

لنقوم بتطبيق المصفوفة على نقاط $S$:
$\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 7 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x + y \\ 7x – 3y \end{pmatrix}$

لنفترض أن لدينا نقطة $(x, y)$ في $S$، بعد تطبيق المصفوفة، ستصبح $(2x + y, 7x – 3y)$ نقطة في $S’.$

الآن، نحن بحاجة لحساب المساحة الجديدة $S’.$ يمكننا استخدام هندسة التحليل لحساب المساحة. سنقوم بتحويل النقاط الأربعة الزاوية للمساحة $S$ إلى نقاط $S’$ وبناء المتجهات بينهم لحساب المساحة.

لنفترض أن لدينا النقاط التالية في $S$:
$A = (x_1, y_1)$، $B = (x_2, y_2)$، $C = (x_3, y_3)$، $D = (x_4, y_4)$.

نقاط $S’$ بعد التحول ستكون:
$A’ = (2x_1 + y_1, 7x_1 – 3y_1)$، $B’ = (2x_2 + y_2, 7x_2 – 3y_2)$، $C’ = (2x_3 + y_3, 7x_3 – 3y_3)$، $D’ = (2x_4 + y_4, 7x_4 – 3y_4)$.

المساحة $S’$ ستكون متساوية لنصف متجه الاجتياح (cross product) بين المتجهات التي تشكل النقاط $A’, B’, C’$ والمتجهات التي تشكل النقاط $A’, C’, D’$.

لنفترض أن $\vec{AB}$ و $\vec{AD}$ هما المتجهات بين النقاط المتجاورة في $S$.

المساحة $S’$ ستكون:
$S’ = \frac{1}{2} |\vec{A’B’} \times \vec{A’D’}|$

حيث
$\vec{A’B’} = (2x_2 + y_2 – 2x_1 – y_1, 7x_2 – 3y_2 – 7x_1 + 3y_1)$
و
$\vec{A’D’} = (2x_4 + y_4 – 2x_1 – y_1, 7x_4 – 3y_4 – 7x_1 + 3y_1)$

الآن، سنقوم بحساب المنتج النقطي (dot product) للمتجهين للحصول على القيمة المطلوبة.

بعد الحساب، سنحصل على قيمة لمساحة $S’.$ التي تمثل المساحة بعد تحويلها باستخدام المصفوفة المعطاة.

المزيد من المعلومات

الكاتراز: قصة خلف الأضواء

أسباب آلام المعدة: تشخيص وعلاج