تحويل العدد الثنائي إلى عشري وحساب الباقي (مسألة رياضيات)

العدد الثنائي المعطى هو $100101110010_2$. لحساب الباقي عند قسمه بالعدد 4 في النظام العشري، يمكننا أولاً تحويل هذا العدد الثنائي إلى النظام العشري.

لتحويل العدد الثنائي $100101110010_2$ إلى النظام العشري، نستخدم الصيغة التالية:

$100101110010_2 = (1 \times 2^{11}) + (0 \times 2^{10}) + (0 \times 2^9) + (1 \times 2^8) + (0 \times 2^7) + (1 \times 2^6) + (1 \times 2^5) + (1 \times 2^4) + (0 \times 2^3) + (0 \times 2^2) + (1 \times 2^1) + (0 \times 2^0)$

حاسبًا هذه القيم، نجد أن العدد الثنائي يتحول إلى العدد العشري 1898.

الآن، يمكننا حساب الباقي عند قسم 1898 على 4 ببساطة:

$1898 \mod 4 = 2$

لذا، الباقي عند قسم العدد الثنائي $100101110010_2$ على 4 في النظام العشري هو 2.

لحساب الباقي عند قسم العدد الثنائي $100101110010_2$ على 4 في النظام العشري، نقوم أولاً بتحويل العدد الثنائي إلى النظام العشري باستخدام الأسس القيمية للأرقام الثنائية. للقيام بذلك، نستخدم القوانين التالية:

1. قاعدة الأساس:
   في النظام الثنائي، يكون لكل رقم موضعه الخاص ويتم تمثيله باستخدام الأساس 2. لذا، يكون الرقم 1 في الموضع الأيمن أقل بقيمة مما يكون عليه في الموضع الأيسر.

2. تحويل الثنائي إلى عشري:
   يتم تحويل العدد الثنائي إلى النظام العشري عن طريق جمع الأقيم في المواضع المختلفة، وهو يعتمد على أساس الرقم 2. في هذه الحالة، يمكننا استخدام الصيغة التي ذكرتها في الإجابة السابقة.

بعد التحويل، نحصل على العدد العشري 1898. الخطوة التالية هي حساب الباقي عند قسم هذا العدد على 4 باستخدام قانون القسمة. يتم ذلك ببساطة عندما نقوم بالقسمة 1898 ÷ 4 للحصول على الناتج الكامل والباقي.

$1898 \div 4 = 474 \: \text{(الناتج الكامل)}$
$1898 \mod 4 = 2 \: \text{(الباقي)}$

القوانين المستخدمة:

• قانون تحويل الثنائي إلى عشري:
  يتم تحويل العدد الثنائي إلى عشري باستخدام الصيغة $(a_n \times 2^n) + (a_{n-1} \times 2^{n-1}) + \ldots + (a_1 \times 2^1) + (a_0 \times 2^0)$ حيث $a_i$ هو الرقم في الموضع $i$ و$n$ هو عدد الأرقام في العدد الثنائي.

• قانون القسمة:
  يمكن حساب الباقي عند قسم عدد على آخر بالقسمة العادية، ويكون الباقي هو الفارق بين العدد الأصلي وناتج الضرب الكامل.