تحويل الأعداد من النظام الثماني إلى النظام العشري (مسألة رياضيات)

إذا قال الأخطبوط إن عمر كهفه تحت الماء هو $567_{8}$ سنة، فكم يكون هذا في النظام العشري؟

للحل، يجب تحويل العدد من النظام الثماني إلى النظام العشري. في النظام العشري، يتم تمثيل الأعداد باستخدام الأرقام من 0 إلى 9.

للقيام بالتحويل، نستخدم القاعدة التالية:
$567_{8} = 5 \times 8^{2} + 6 \times 8^{1} + 7 \times 8^{0}$

حيث:

• $8^{2}$ يمثل القيمة المرتبطة بالرقم في المكان الثاني من اليمين في العدد الثماني.
• $8^{1}$ يمثل القيمة المرتبطة بالرقم في المكان الأوسط في العدد الثماني.
• $8^{0}$ يمثل القيمة المرتبطة بالرقم في المكان الأول من اليمين في العدد الثماني.

الآن، قيمة العدد في النظام العشري:
$567_{8} = 5 \times 8^{2} + 6 \times 8^{1} + 7 \times 8^{0}$
$= 5 \times 64 + 6 \times 8 + 7 \times 1$
$= 320 + 48 + 7$
$= 375$

إذاً، عمر كهف الأخطبوط هو 375 سنة في النظام العشري.

لحل المسألة وتحويل العدد $567_{8}$ من النظام الثماني إلى النظام العشري، نحتاج إلى فهم القوانين والمفاهيم الأساسية في التحويل بين الأنظمة العددية.

1. قاعدة المرجحية (Place Value):
   في أي نظام عددي، الرقم في كل موضع له قيمة تتغير بناءً على مكانه في العدد. في النظام العشري، مثلاً، الرقم 5 في العدد 567 يمثل خمسة عشرات. والرقم 6 يمثل ستة أحاديث، والرقم 7 يمثل سبعة وحدات.

2. التمثيل العشري للأعداد الثمانية:
   يمثل العدد $567_{8}$ في النظام الثماني مجموع القيم المضروبة في كل موضع بالقاعدة الثمانية.

3. قاعدة التحويل:
   لتحويل العدد الثماني إلى العدد العشري، نقوم بضرب كل رقم في العدد الثماني بالقيمة التي يمثلها وزنه في النظام الثماني، ثم نجمع النتائج.

حسب قوانين التحويل والمرجحية، يمكننا حساب العدد $567_{8}$ على النحو التالي:

$567_{8} = 5 \times 8^{2} + 6 \times 8^{1} + 7 \times 8^{0}$

حيث:

• الرقم 5 في المكان الثاني من اليمين يمثل $5 \times 8^{2}$ أو 5 مضروبة في 64.
• الرقم 6 في المكان الوسط يمثل $6 \times 8^{1}$ أو 6 مضروبة في 8.
• الرقم 7 في المكان الأول من اليمين يمثل $7 \times 8^{0}$ أو 7.

الآن، نقوم بحساب القيم:

$= 5 \times 64 + 6 \times 8 + 7 \times 1$
$= 320 + 48 + 7$
$= 375$

وبالتالي، العدد $567_{8}$ يعادل 375 في النظام العشري.