تحويل الأعداد العشرية المتكررة إلى كسور (مسألة رياضيات)

عندما نقوم بتحويل العدد العشري المتكرر $0.\overline{01}$ إلى كسر، نلاحظ أن الرقم الذي يتكرر هو 01. لذلك، نقوم بتكرار هذا الرقم بعد الفاصلة العشرية. لكن عدد الأصفار بعد الفاصلة العشرية يكون بمقدار واحد أقل من عدد الأصفار في الرقم المتكرر.

لذلك، نقوم بكتابة الكسر على النحو التالي:
$0.\overline{01} = \frac{1}{99}$

الآن، ننتقل إلى العدد $1.\overline{03}$. نلاحظ أن الأرقام التي تتكرر هي 03 بعد الفاصلة العشرية. إذاً، نقوم بتكرار الرقم 03 بعد الفاصلة العشرية ونحاول تحديد الجزء الصحيح من العدد.

لحساب الجزء الصحيح، نستخدم العلاقة بين الكسر والعدد العشري، والتي تقول إن الجزء الصحيح يمكن الحصول عليه بجمع العدد الصحيح مع الجزء الكسري من العدد العشري. في هذه الحالة، الجزء الصحيح هو 1.

للعثور على الجزء الكسري، نقوم بتقسيم الرقم المتكرر (03) على 99، حيث إن الرقم 99 يمثل الجزء الكسري في الرقم العشري المتكرر. بعد القيام بالعملية، نحصل على الجواب.

إذاً، يكون الجزء الكسري كالتالي:
$\frac{03}{99}$

وبالجمع مع الجزء الصحيح (1)، يمكن كتابة العدد $1.\overline{03}$ ككسر مختصر على النحو التالي:
$1.\overline{03} = 1 + \frac{03}{99}$

$1.\overline{03} = \frac{99}{99} + \frac{03}{99}$

$1.\overline{03} = \frac{99 + 3}{99}$

$1.\overline{03} = \frac{102}{99}$

إذاً، الكسر المختصر للعدد $1.\overline{03}$ هو $\frac{102}{99}$.

لحل مسألة تحويل العدد العشري المتكرر $1.\overline{03}$ إلى كسر، نحتاج إلى استخدام بعض القوانين والمفاهيم الأساسية في الجبر والحساب. هذه هي الخطوات التفصيلية لحل المسألة:

1. فهم العدد المعطى:
   نبدأ بفهم العدد $1.\overline{03}$. هذا يعني أن الرقم 03 يتكرر بلا نهاية بعد الفاصلة العشرية.

2. تحويل الرقم المتكرر إلى كسر:
   نعلم أن الجزء الصحيح هو 1، لأننا لدينا 1 قبل الفاصلة العشرية.
   الجزء الكسري يتكون من الرقم المتكرر بعد الفاصلة العشرية. في هذه الحالة، الرقم المتكرر هو 03.

3. استخدام قانون الأعداد المتكررة:
   لتحويل الرقم المتكرر إلى كسر، نستخدم القانون الذي يقول إن الرقم المتكرر مثل $0.\overline{abc}$ يساوي $\frac{abc}{999}$.

   في حالتنا، لدينا $0.\overline{03}$، لذلك نستخدم 03 كجزء كسري ونقسمه على 99 لأن الرقم المتكرر يحدث على 99.

4. الجمع مع الجزء الصحيح:
   بما أن لدينا 1 قبل الفاصلة العشرية، نقوم بجمع الجزء الصحيح مع الجزء الكسري للحصول على الكسر النهائي.

5. تبسيط الكسر إن لزم الأمر:
   قد نحتاج إلى تبسيط الكسر إلى أقرب صورة مختصرة.

باختصار، في هذا الحل استخدمنا القوانين الجبرية لتحويل العدد العشري المتكرر إلى كسر والجمع بين الجزء الصحيح والجزء الكسري. ثم قمنا بتبسيط الكسر إلى أقرب صورة مختصرة إذا اقتضت الضرورة.