تحويل إحداثيات نقطة إلى كروية: الحل (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية تتعلق بتحويل نقطة من الإحداثيات المستطيلة إلى الإحداثيات الكروية، حيث يطلب منا تحويل النقطة $(0, -3\sqrt{3}, 3)$ إلى الإحداثيات الكروية في الصيغة $(\rho, \theta, \phi)$، حيث $\rho > 0$، $0 \leq \theta < X\pi$، و $0 \leq \phi \leq \pi$.

للحصول على الإحداثيات الكروية، نستخدم العلاقات التالية:

$\rho = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}, \quad \theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right), \quad \phi = \arccos\left(\frac{z}{\rho}\right)$

حيث $x$، $y$، و $z$ هي إحداثيات النقطة.

للنقطة $(0, -3\sqrt{3}, 3)$:
$\rho = \sqrt{0^2 + (-3\sqrt{3})^2 + 3^2} = \sqrt{27 + 9} = \sqrt{36} = 6$

لحساب $\theta$، نستخدم الصيغة:
$\theta = \arctan\left(\frac{-3\sqrt{3}}{0}\right)$
وهنا نرى أن المقام يساوي صفر، لذا $\theta$ هو $\frac{\pi}{2}$.

أما بالنسبة لـ $\phi$:
$\phi = \arccos\left(\frac{3}{6}\right) = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$

إذاً، الإحداثيات الكروية للنقطة هي $(6, \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{3})$.

الجواب المعطى في السؤال هو $(6, \frac{3\pi}{2}, \frac{\pi}{3})$. ولكي نجد قيمة المتغير المجهول $X$، نقارن بين القيم المعطاة:
$X\pi = \frac{3\pi}{2}$

بقسمة الطرفين على $\pi$:
$X = \frac{3}{2}$

إذا كانت الإجابة على السؤال الثاني هي $X = \frac{3}{2}$.

لنقم بحل المسألة بتفاصيل أكثر، نستخدم القوانين المستخدمة في تحويل الإحداثيات من المستطيلية إلى الكروية.

القوانين المستخدمة:

1. حساب المسافة الشعاعية ($\rho$):
   $\rho = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

2. حساب الزاوية الأفقية ($\theta$):
   $\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)$

3. حساب الزاوية الرأسية ($\phi$):
   $\phi = \arccos\left(\frac{z}{\rho}\right)$

نبدأ بتحويل النقطة $(0, -3\sqrt{3}, 3)$:

1. حساب $\rho$:
   $\rho = \sqrt{0^2 + (-3\sqrt{3})^2 + 3^2} = \sqrt{27 + 9} = \sqrt{36} = 6$

2. حساب $\theta$:
   $\theta = \arctan\left(\frac{-3\sqrt{3}}{0}\right)$

   هنا يجدر بنا أن نلاحظ أن النقطة على العمود $y$ السالب، ونستنتج أن النقطة تقع على النصف السالب للمحور $x$. وبما أن $\arctan$ تكون في الربع الثاني أو الربع الرابع، فإن القيمة المناسبة هي $\theta = \frac{\pi}{2}$.

3. حساب $\phi$:
   $\phi = \arccos\left(\frac{3}{6}\right) = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$

إذاً، الإحداثيات الكروية للنقطة هي $(6, \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{3})$.

الآن، بالنسبة للقيم المعطاة في الإجابة النموذجية: $(6, \frac{3\pi}{2}, \frac{\pi}{3})$، نجد أن القيمة المجهولة $X$ تظهر في الزاوية الأفقية $\theta$. وفي الحالة العامة، نعلم أن القيم المسموح بها للزاوية الأفقية تكون بين $0$ و $2\pi$، لذا:

$X\pi = \frac{3\pi}{2} \implies X = \frac{3}{2}$

الحلاقة المستخدمة تعتمد على العلاقات الهندسية بين الإحداثيات المستطيلية والكروية، مع مراعاة المدى المسموح به للزوايا.