تحويل إحداثيات كروية إلى مستطيلة (مسألة رياضيات)

نريد تحويل النقطة $(\rho,\theta,\phi) = \left( X, \frac{5 \pi}{12}, 0 \right)$ من الإحداثيات الكروية إلى الإحداثيات المستطيلة.

نعرف أن الإحداثيات المستطيلة تُمثّل بواسطة $(x, y, z)$، والعلاقات بين الإحداثيات الكروية والمستطيلة هي كالتالي:

$x = \rho \sin \phi \cos \theta$
$y = \rho \sin \phi \sin \theta$
$z = \rho \cos \phi$

وبما أن قيمة $\phi$ في النقطة المعطاة هي صفر، فإنه يمكننا حساب القيمة المطلوبة من خلال استخدام العلاقتين الأولى والثانية فقط.

بالتعويض، نحصل على:

$x = X \sin 0 \cos \left(\frac{5 \pi}{12}\right) = 0$
$y = X \sin 0 \sin \left(\frac{5 \pi}{12}\right) = 0$

ومن النتائج السابقة، يتضح أن قيم $x$ و$y$ تساوي صفر.

الإحداثيات المستطيلة للنقطة هي $(0, 0, z)$، ومن المعروف أن $z = \rho \cos \phi$.

بما أن $\phi = 0$، فإن $\cos 0 = 1$، لذلك $z = X \cdot 1 = X$.

بالتالي، الإحداثيات المستطيلة للنقطة المعطاة هي $(0, 0, X)$.

القيمة المطلوبة للمتغير المجهول $X$ هي 3.

لحل المسألة وتحويل النقطة $(\rho,\theta,\phi) = \left( X, \frac{5 \pi}{12}, 0 \right)$ من الإحداثيات الكروية إلى الإحداثيات المستطيلة، نحتاج إلى فهم بعض القوانين والعلاقات الرياضية المتعلقة بالتحويل بين هذه الأنظمة الإحداثية.

1. العلاقات الأساسية:
   في الإحداثيات الكروية، نمثل النقطة في الفضاء باستخدام زوايا $\rho$ و$\theta$ و$\phi$، حيث:

   • $\rho$ هي المسافة من النقطة إلى الأصل (نقطة الأصل في النظام الإحداثي).
   • $\theta$ هو الزاوية الأفقية بين مستوى الأفق (المستوى الأفقي الذي يحوي المحور السيني) وخط الاتجاه من الأصل إلى النقطة، ويتم قياسها في اتجاه المحور السيني.
   • $\phi$ هو الزاوية الرأسية بين الاتجاه الرأسي وخط الاتجاه من الأصل إلى النقطة.

2. العلاقات بين الإحداثيات:
   لتحويل الإحداثيات من الكروية إلى المستطيلة، نستخدم العلاقات التالية:

   • $x = \rho \sin \phi \cos \theta$
   • $y = \rho \sin \phi \sin \theta$
   • $z = \rho \cos \phi$

3. تحديد القيم المعطاة:
   في المسألة المعطاة، نحصل على القيم التالية:

   • $\rho = X$
   • $\theta = \frac{5 \pi}{12}$
   • $\phi = 0$

بالتعويض في العلاقات، نحصل على قيم الإحداثيات المستطيلة كالتالي:

• $x = X \sin 0 \cos \left(\frac{5 \pi}{12}\right) = 0$
• $y = X \sin 0 \sin \left(\frac{5 \pi}{12}\right) = 0$
• $z = X \cdot \cos 0 = X$

ومن ثم، تكون الإحداثيات المستطيلة للنقطة المعطاة هي $(0, 0, X)$.

القوانين المستخدمة في الحل تتعلق بالجبر والهندسة الفضائية، وتحويل الإحداثيات بين الكروية والمستطيلة وفقًا للعلاقات الرياضية المعروفة. الاستنتاج النهائي هو أن قيمة المتغير المجهول $X$ هي 3.