تحويل إحداثيات كروية إلى مستطيلة (مسألة رياضيات)

نريد تحويل النقطة $(\rho,\theta,\phi) = \left( 3, \frac{5 \pi}{12}, X \right)$ من الإحداثيات الكروية إلى الإحداثيات المستطيلة.

الإحداثيات المستطيلة $(x, y, z)$ تتعلق بالإحداثيات الكروية $(\rho, \theta, \phi)$ بالعلاقات التالية:

$x = \rho \sin(\phi) \cos(\theta)$
$y = \rho \sin(\phi) \sin(\theta)$
$z = \rho \cos(\phi)$

باستخدام القيم المعطاة، حيث $\rho = 3$ و$\theta = \frac{5 \pi}{12}$، نستطيع أن نقوم بتعويض هذه القيم في العلاقات السابقة.

لكن للعثور على قيمة $X$، يتعين علينا أولاً حساب $\sin(\phi)$ و$\cos(\phi)$ باستخدام الإحداثيات المعطاة.

من المعروف أن:
$\sin(\phi) = \sin\left(\frac{\pi}{2} – \phi\right) = \cos(\phi)$
ومنذ $\frac{\pi}{2} – \frac{5\pi}{12} = \frac{\pi}{4}$ فإن:
$\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

وباستخدام العلاقات المعطاة، نجد:
$x = 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos\left(\frac{5\pi}{12}\right)$
$y = 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin\left(\frac{5\pi}{12}\right)$
$z = 3 \cdot \cos\left(X\right)$

وحيث أن الإجابة المعطاة هي $(0,0,3)$، فنعرف أن $x = 0$ و $y = 0$ و $z = 3$.

لذلك، نحتاج إلى حل المعادلة $3 \cdot \cos\left(X\right) = 3$ للعثور على قيمة $X$.

بتقسيم كلا الجانبين على 3، نحصل على:
$\cos\left(X\right) = 1$

وبما أن الكوساين موجود في الربع الأول والربع الرابع فنعرف أن:
$X = 0$

إذاً، القيمة المجهولة $X = 0$.

لحل المسألة وتحويل النقطة $(\rho, \theta, \phi)$ من الإحداثيات الكروية إلى الإحداثيات المستطيلة، نحتاج إلى القوانين التالية:

1. تحويل إحداثيات كروية إلى مستطيلة:
   العلاقات التي تربط الإحداثيات المستطيلة $(x, y, z)$ بالإحداثيات الكروية $(\rho, \theta, \phi)$ هي:
   $x = \rho \sin(\phi) \cos(\theta)$
   $y = \rho \sin(\phi) \sin(\theta)$
   $z = \rho \cos(\phi)$

2. العلاقة بين السين والكوساين:
   نستخدم أيضًا العلاقة المعروفة بين السين والكوساين في الزوايا المتعلقة ببعضها في المثلثات. على سبيل المثال:
   $\sin(\phi) = \sin\left(\frac{\pi}{2} – \phi\right) = \cos(\phi)$

3. القيم المعطاة:
   في المسألة المعطاة، نعرف قيم $\rho$ و$\theta$ ونبحث عن قيمة $\phi$.

4. حساب قيمة $\phi$:
   نستخدم العلاقة المذكورة أعلاه لحساب قيمة $\sin(\phi)$ و$\cos(\phi)$ من زاوية $\frac{5\pi}{12}$.

5. حل المسألة:
   بعد حساب $\sin(\phi)$ و$\cos(\phi)$، نستخدم العلاقات الأولى لحساب الإحداثيات المستطيلة $(x, y, z)$.
   ومن ثم، نحدد قيمة $X$ بالاعتماد على القيم المعطاة في الإجابة والتي تشير إلى $(0, 0, 3)$.

بتطبيق هذه الخطوات، يمكننا الوصول إلى القيمة المطلوبة للمتغير $X$، والتي تكونت في هذا السياق من التعامل مع الجوانب الهندسية والرياضية لتحويل الإحداثيات وحساب الزوايا.