تحويل إحداثيات كروية إلى مستطيلة: الحل المفصل (مسألة رياضيات)

النقطة في إحداثياتها الكروية هي $(\rho, \theta, \phi) = (2, \pi, \frac{\pi}{4})$. لنقم بتحويل هذه الإحداثيات إلى إحداثيات مستطيلة.

إحداثيات مستطيلة $(x, y, z)$ يمكن حسابها من إحداثيات كروية باستخدام العلاقات التالية:
$x = \rho \sin(\phi) \cos(\theta)$
$y = \rho \sin(\phi) \sin(\theta)$
$z = \rho \cos(\phi)$

نستخدم القيم المعطاة في المسألة:
$x = 2 \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \cos(\pi)$
$y = 2 \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \sin(\pi)$
$z = 2 \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$

بحساب قيم الدوال المثلثية والتبسيط، نحصل على القيم:
$x = -\sqrt{2}$
$y = 0$
$z = \sqrt{2}$

إذا كانت النقطة في الإحداثيات الكروية $(2, \pi, \frac{\pi}{4})$، فإن تحويلها إلى الإحداثيات المستطيلة يكون بالشكل التالي: $(x, y, z) = (-\sqrt{2}, 0, \sqrt{2})$.

لنقم بحل تحويل الإحداثيات الكروية إلى الإحداثيات المستطيلة بشكل أكثر تفصيلاً. في هذا السياق، سنستخدم العلاقات الرياضية المعروفة التي تربط بين إحداثيات كروية ومستطيلة. قوانين الرياضيات والهندسة المستخدمة تشمل مفاهيم الجبر والهندسة الرياضية.

القوانين المستخدمة:

1. لتحويل $\rho$ و $\phi$ إلى إحداثيات مستطيلة، نستخدم العلاقات التالية:
   $x = \rho \sin(\phi) \cos(\theta)$
   $y = \rho \sin(\phi) \sin(\theta)$
   $z = \rho \cos(\phi)$

2. قوانين الجبر والمثلثات تستخدم لتبسيط العلاقات الرياضية وحساب القيم بناءً على القيم المعطاة.

الحل:
نعوض القيم المعطاة في المسألة في العلاقات الثلاثة. للتذكير:
$x = 2 \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \cos(\pi)$
$y = 2 \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \sin(\pi)$
$z = 2 \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$

لنحسب قيم الدوال المثلثية:
$\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos(\pi) = -1$
$\sin(\pi) = 0$
$\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

نعوض هذه القيم في العلاقات ونقوم بالحسابات:
$x = 2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \times (-1) = -\sqrt{2}$
$y = 2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \times 0 = 0$
$z = 2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

إذًا، النتيجة النهائية هي $(x, y, z) = (-\sqrt{2}, 0, \sqrt{2})$.